习题课 数学归纳法
明目标、知重点
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
题型一 用数学归纳法证明不等式
思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？
答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论．
例1 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式··…·>都成立．
证明 由bn＝2n，得＝，
所以··…·＝···…·.
下面用数学归纳法证明不等式··…·＝···…·>成立．
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时不等式成立，
即··…·＝···…·>成立．
则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝···…··
>·＝＝
>＝
＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)、(2)可得不等式··…·＝···…·>对任意的n∈N*都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．
跟踪训练1 用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明 当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝，
因为<，所以不等式成立．
假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－
＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
题型二 利用数学归纳法证明整除问题
例2 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.
证明 (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，
命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则
当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，
命题成立．
反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．
跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．
证明 (1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．
那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1
＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．
∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，
y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．
由(1)，(2)可知原命题成立．
题型三 利用数学归纳法证明几何问题
思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？
答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，
即平面内满足题设的任何k条直线交点个数
f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)
＝k(k＋1)＝(k＋1)(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．
跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
证明 (1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；
(2)假设n＝k(k∈N*)时，
被分成f(k)＝k2－k＋2部分；
那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
呈重点、现规律]
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.
一、基础过关
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
答案 D
解析 等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
答案 C
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )
A．2k－1项 B．2k＋1项
C．2k项 D．以上都不对
答案 C
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
答案 C
解析 当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，
当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案 A
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．
答案 Sn＝
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
证明 (1)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋)，
∴a＝1(an>0)，
∴a1＝1，又－＝1，∴n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝(ak＋1＋)－(ak＋)
＝(ak＋1＋)－(－＋)
＝(ak＋1＋)－.
∴a＋2ak＋1－1＝0，解得ak＋1＝－(an>0)，
∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.
二、能力提升
8．对于不等式≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
9．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．
答案 ＋＋…＋＋＋>－
解析 观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36×(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命题成立．
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，
即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．
用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－
＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
三、探究与拓展
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若不等式(1－)·(1－)·…·(1－)≤对任意n∈N*，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解 (1)设数列{an}公差为d(d>0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．所以an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而>，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N*恒成立．
下面用数学归纳法证明：
证明 (1)当n＝1时，≤＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时，不等式，···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只要证·≤ ，
只要证≤，只要证≤2k＋2，
只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N*，不等式···…·≤恒成立．