高中数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案

学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有(　　)
A．①②　　　　　　 B．②③
C．③④ D．②④
【解析】　由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】　D
2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】　D
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】　用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
【答案】　A
4.如图3­1­25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
图3­1­25
A．2· B．2·
C．2· D．2·
【解析】　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．
【答案】　C
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是(　　) 【导学号：18490091】
A．1个　 B．2个
C．3个　　 D．0个
【解析】　由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.
【答案】　B
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．
【解析】　|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】　
7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】　由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】　(－1－，－1＋)
8.如图3­1­26，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3­1­26
【解析】　不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
【答案】　90°
三、解答题
9．如图3­1­27，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
图3­1­27
【证明】　设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)＋c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O⊄平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.
【解】　如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升]
1．已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.
【答案】　C
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．45°
【解析】　由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.
【答案】　B
3．已知正三棱柱ABC­DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________. 【导学号：18490092】
【解析】　设＝m，由于＝＋，＝＋m，
又·＝0，
得×1×1×＋4m＝0，
解得m＝.
【答案】　
4.如图3­1­28，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
图3­1­28
【解】　∵＝＋＋，
∴||＝＝
.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||
＝
＝.