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  • 高中数学选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评15 Word版含答案

    2021-04-29 高一上册数学人教版

    学业分层测评
    (建议用时:45分钟)
    [学业达标]
    一、选择题
    1.下列结论不正确的是(  )
    A.若y=3,则y′=0
    B.若f(x)=3x+1,则f′(1)=3
    C.若y=-+x,则y′=-+1
    D.若y=sin x+cos x,则y′=cos x+sin x
    【解析】 ∵y=sin x+cos x,
    ∴y′=(sin x)′+(cos x)′=cos x-sin x.故选D.
    【答案】 D
    2.函数y=(+1)(-1)的导数等于(  )
    A.1          B.-
    C. D.-
    【解析】 因为y=(+1)(-1)=x-1,所以y′=x′-1′=1.
    【答案】 A
    3.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为(  )
    A.y=2x+1 B.y=2x-1
    C.y=-2x-3 D.y=-2x+2
    【解析】 ∵y′==,
    ∴k=y′|x=-1==2,
    ∴切线方程为y+1=2(x+1),
    即y=2x+1.故选A.
    【答案】 A
    4.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )
    A.3 B.2
    C.1 D.
    【解析】 因为y′=-,所以由导数的几何意义可知,-=,解得x=3(x=-2不合题意,舍去).
    【答案】 A
    5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有(  )
    A.1条 B.2条
    C.3条 D.不确定
    【解析】 ∵f′(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则3x=1,得x0=±,即在点和点处有斜率为1的切线.故选B.
    【答案】 B
    二、填空题
    6.已知f(x)=x2,g(x)=x3,若f′(x)-g′(x)=-2,则x=________. 【导学号:26160079】
    【解析】 因为f′(x)=5x,g′(x)=3x2,所以5x-3x2=-2,解得x1=-,x2=2.
    【答案】 -或2
    7.若曲线y=x-在点(a,a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=________.
    【解析】 ∵y=x-,∴y′=-x-,
    ∴曲线在点(a,a-)处的切线斜率k=-a-,
    ∴切线方程为y-a-=-a-(x-a).
    令x=0得y=a-;令y=0得x=3a.
    ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
    S=·3a·a-=a=18,∴a=64.
    【答案】 64
    8.已知函数f(x)=f′cos x+sin x,则f的值为________.
    【解析】 ∵f′(x)=-f′sin x+cos x,
    ∴f′=-f′×+,
    得f′=-1.
    ∴f(x)=(-1)cos x+sin x,∴f=1.
    【答案】 1
    三、解答题
    9.求下列函数的导数:
    (1)y=(x+1)2(x-1);
    (2)y=x2sin x;
    (3)y=.
    【解】 (1)法一:y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.
    法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,
    y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.
    (2)y′=(x2sin x)′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
    (3)y′=
    ==.
    10.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
    【解】 因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
    所以f′(x)=3x2+2ax+b.
    令x=1,得f′(1)=3+2a+b,又f′(1)=2a,
    所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
    令x=2,得f′(2)=12+4a+b,又f′(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-.
    所以f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
    又f′(1)=2×=-3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
    [能力提升]
    1.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为(  )
    A. B.-
    C.-e D.e
    【解析】 y′=ex,设切点为(x0,y0),则
    ∴ex0=ex0·x0,∴x0=1,∴k=e.故选D.
    【答案】 D
    2.若f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2 016(x)=(  )
    A.sin x B.-sin x
    C.cos x D.-cos x
    【解析】 因为f1(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=(cos x)′=-sin x,f3(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)=(-cos x)′=sin x,f5(x)=(sin x)′=cos x,所以循环周期为4,因此f2 016(x)=f4(x)=sin x.
    【答案】 A
    3.已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,则f′(0)=________.
    【解析】 因为f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,
    所以f′(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+3)(x+4)·(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),
    所以f′(0)=1×2×3×4×5=120.
    【答案】 120
    4.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
    (1)求f(x)的解析式;
    (2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 【导学号:26160080】
    【解】 (1)7x-4y-12=0可化为y=x-3.
    当x=2时,y=.又f′(x)=a+,
    于是解得
    故f(x)=x-.
    (2)证明:设点P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+可知曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为:y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).
    令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
    所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为··|2x0|=6.
    故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
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