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课时提升作业 十
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·太原高二检测)已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是 ( )
A.-2+2i B.-2+4i
C.-1+i D.-1+2i
【解析】选C.设C表示的复数为x+yi,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,
=(x+2,y-3),=(-x,-1-y).
因为=,
所以x+2=-x,y-3=-1-y,
解得x=-1,y=1.
点C表示的复数是-1+i.
2.(2016·昆明高二检测)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2,
⇒⇒xy=1.
3.(2016·西宁高二检测)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是 ( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
【解析】选D.依题意有==-,
而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,
即对应的复数为4-2i.
【补偿训练】(2016·武汉高二检测)在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是 ( )
A.2+14i B.1+7i
C.2-14i D.-1-7i
【解析】选D.由平行四边形法则可得
解得=(1,7),
所以=(-1,-7),所以对应的复数是-1-7i.
4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )
A. B.5
C. D.5
【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,
所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.
【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 ( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
【解析】选A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z= ( )
A.-+i B.-i
C.--i D.+i
【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),
则x+yi+=2+i,
因此有解得
故z=+i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.
【解析】因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),
由|z|=4得a2+4=16,
所以a2=12,所以a=±2,
所以z=±2-2i.
答案:±2-2i
7.(2016·成都高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=3,所以a2+b2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
所以即
又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
答案:3i
8.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=________.
【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题.
【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,
||==5,||=10.
|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.
答案:100
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).
(2)5i-.
【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i.
10.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2
=(3x+y)+(y-4x)i-
=+i
=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=4×(-1)-2×2-i=-8-7i.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·福州高二检测)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-2或1
【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得⇒a=-2.
【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.
2.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】选D.因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.
【一题多解】选D.设z=x+yi(x,y∈R),
所以z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1,
所以(x-3)2+(y-4)2=1,
设x=3+cosθ,y=4+sinθ,
则|z|===
=(其中sinφ=,cosφ=),所以|z|的最大值是6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________.
【解析】因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得a-b=-4.
答案:-4
4.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________.
【解析】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形,
所以|z1-z2|=2.
答案:2
【补偿训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.
【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.
如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四边形为正方形,所以另一条对角线的长|z1-z2|=.
【拓展延伸】复数运算几何意义的应用
(1)已知复数z1,z2,z1+z2在复平面内分别对应点A,B,C,O为原点且|z1+z2|=|z1-z2|,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角线长相等,故四边形OACB为矩形.
(2)因为|z1|,|z2|,|z1-z2|(或|z1+z2|)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O三点不共线),所以可用解三角形来处理边与角的问题.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数.
(2)平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,
所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因为=,
所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).
设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cosB,
所以cosB===.
所以sinB=.
所以S=||||sinB=××=7,
所以平行四边形ABCD的面积为7.
6.(2016·杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+i|的最大值和最小值.
【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义,再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2知x2+y2=4,
故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,
又|z+1+i|表示点(x,y)到点(-1,-)的距离.
又因为点(-1,-)在圆x2+y2=4上,
所以圆上的点到点(-1,-)的距离的最小值为0,最大值为圆的直径4,
即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.
【拓展延伸】数形结合求解复数问题
因为复数拥有实部与虚部“两条腿”,进而与复平面上的点建立了一一对应,又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.
【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i,求复数z1,z2.
【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|==1,
所以z1+z2对应向量,其中∠COx=60°,如图1所示.
设对应复数z1,对应复数z2,则四边形AOBC是菱形,且△AOC和△BOC都是等边三角形,于是z1=1,z2=+i或z1=+i,z2=1.如图2和图3所示.
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