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课时提升作业 八
数系的扩充和复数的概念
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.( 2016·泉州高二检测)如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为 ( )
A.-2 B.1
C.2 D.1或-2
【解析】选A.因为复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,
所以a2+a-2=0且a2-3a+2≠0,
所以a=-2.
2.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=
( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3.
【补偿训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于 ( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解析】选C.已知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为-a,则a=-1.
【拓展延伸】复数相等的充要条件的应用
1.必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.
2.利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要.
3.(2016·西安高二检测)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.ab=0⇒a=0或b=0,当a≠0,b=0时,a+为实数,当a+为纯虚数时⇒a=0,b≠0⇒ab=0,故“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.
4.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为 ( )
A.-2 B.3 C.-3 D.±3
【解析】选B.由题意知m2-9=0,解得m=±3,又z为正实数,所以m=3.
【延伸探究】若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是虚数,则m的取值为________.
【解析】由题意知m2-9≠0,所以m≠±3.
答案:m≠±3
5.(2016·上海高二检测)设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的 ( )
【解题指南】由复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,可得利用线性规划的知识得可行域即可.
【解析】选A.因为复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,所以
由线性规划的知识可得,可行域为直线x=2y的右下方和直线y=5-2x的左下方,因此为A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知复数z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为________.
【解析】z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或1.
答案:0或1
7.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是________.
【解题指南】找出复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部,列出不等式,即可求得实数a的取值范围.
【解析】由已知可以得到a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.
答案:{a|a>3或a<-1}
8.若复数m-3+(m2-3m-4)i<0,则实数m的取值范围为________.
【解题指南】虚数不能比较大小,能比较大小的一定是实数.
【解析】由题意知
解得m=-1(m=4舍去).
答案:m=-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.实数m取什么值时,复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i分别是(1)纯虚数.(2)实数.
【解析】(1)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数,则
所以
所以m=3.
即m=3时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为纯虚数.
(2)复数lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数,则
解②得m=-2或m=-1,
代入①检验知满足不等式,
所以当m=-2或m=-1时,lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i为实数.
【补偿训练】(2016·岳阳高二检测)已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z
(1)是实数.
(2)是虚数.
(3)是纯虚数.
【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.
(1)令m2-m-6=0⇒m=3或m=-2,
即当m=3或m=-2时,z是实数.
(2)令m2-m-6≠0,解得m≠-2且m≠3,
所以当m≠-2且m≠3时,z是虚数.
(3)由解得m=-1,
所以当m=-1时,z是纯虚数.
10.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根x0,求x0以及实数k的值.
【解析】x=x0是方程的实根,代入方程并整理,得
(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
由复数相等的充要条件,得
解得或
所以方程的实根为x0=或x0=-,
相应的k值为k=-2或k=2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z1= z2,则λ的取值范围为 ( )
A.-7≤λ≤ B.≤λ≤7
C.-1≤λ≤1 D.-≤λ≤7
【解析】选D.由z1= z2,得
消去m,得λ=4sin2θ-3sinθ=4-.
由于-1≤sinθ≤1,故-≤λ≤7.
2.(2016·哈尔滨高二检测)若复数z=+i(θ∈R)是纯虚数,则tan的值为 ( )
A.-7 B.-
C.7 D.-7或-
【解析】选A.因为复数z是纯虚数.所以满足实部为零且虚部不为零.即
因为sinθ=且cosθ≠,
所以cosθ=-,所以tanθ=-,
所以tan===-7.
【误区警示】忽视虚部的限制而出错
纯虚数的实部为0,虚部一定不等于0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·淄博高二检测)设复数z=+(m2+2m-15)i为实数,则实数m的值是________.
【解析】由题意得解得m=3.
答案:3
【延伸探究】若把题中条件“实数”改为“虚数”,则m的值为多少?
【解析】若复数z=+(m2+2m-15)i是虚数,则m+5≠0且m2+2m-15≠0,
得m≠3且m≠-5.
【补偿训练】若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为________.
【解析】由⇒x=-1.
答案:-1
4.(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.
【解题指南】利用复数乘法法则以及复数相等的定义求出a,b的值,然后计算.
【解析】=1+b+(1-b)i=a,所以
解得所以=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1
m=0,-1,-2,z1=1或2或5.
当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,
m=0,1,4,z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,
此时z1与z2同时为实数,
此时z1=1,z2=2.
所以z1>z2时m值的集合为空集,
z1
【解题指南】利用运算的定义转化为两个复数相等求解.
【解析】由定义运算=ad-bc,
得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以有
得得x=-1,y=2.
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