(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·北京高考)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2
【答案】 D
2．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y或x2＝－y
B．x2＝y
C．y2＝－9x或x2＝y
D．x2＝－y或y2＝9x
【解析】 P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.故选D.
【答案】 D
3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( )
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
④对命题p：∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．
【答案】 B
4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)
【解析】 f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.
∴f(－1)>f(1)．
【答案】 C
5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
【解析】 故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.故选C.
【答案】 C
6．已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】 双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( ) 【导学号：26160107】
A．1 B. C．2 D．3
【解析】 因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB的面积为××p＝，又p＞0，所以p＝2.
【答案】 C
8．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为( )
A．[0，π) B.∪
C.∪ D.∪
【解析】 f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为∪.
【答案】 B
9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；
当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；
当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.
【答案】 D
10．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意知3kx2＋6(k－1)x≤0，
即kx＋2k－2≤0在(0,4)上恒成立，
得k≤，x∈(0,4)，又＜＜1，∴k≤.
【答案】 D
11．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1, ) B．(，＋∞)
C．(1, ] D．[，＋∞)
【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，
故e＝＝＝>.
【答案】 B
12．(2014·湖南高考)若0
B．ex2－ex1
D．x2ex1
令f′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y＝ex与y＝的图象，可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确．
设g(x)＝(0
又0
∴x2ex1>x1ex2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
【解析】 a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，
a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
【答案】 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
14．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________. 【导学号：26160108】
【解析】 y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，
所以切线方程为y－1＝3(x－0)，
即3x－y＋1＝0.
【答案】 3x－y＋1＝0
15.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________________．
图1
【解析】 当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，
由图象可知x∈(－∞，－)；
当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0, )．
∴xf′(x)＜0的解集为(－∞，－)∪(0, )．
【答案】 (－∞，－)∪(0, )
16．若O和F分别是椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
【解析】 由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
【答案】 6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设命题p：方程＋＝1表示的曲线是双曲线；命题q：∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
【解】 对于命题p，因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>，则命题p：m<－4或m>.
对于命题q，因为∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在实数集R上有解，
所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，
解得m<－3或m>6.
则命题q：m<－3或m>6.
因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题．
若命题p为真命题且命题q为假命题，
即得
即得－4≤m<－3.
综上，实数m的取值范围为[－4，－3)∪.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，
∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而g(x)＝f(x)－f′(x)
＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)
＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c
∵g(x)是奇函数，
∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c
＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]
得(b－3)x2－c＝0对x∈R都成立．
∴得b＝3，c＝0.
(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－)和(，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－， )是函数g(x)的单调递减区间．g(x)在x＝－时，取得极大值，极大值为4，g(x)在x＝时，取得极小值，极小值为－4.
19．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝3.
(1)求b的值； 【导学号：26160109】
(2)在x轴上求一点P，使△APB的面积为39.
【解】 (1)联立方程组消去y，得方程：4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝1－b，x1x2＝，
|AB|＝
＝＝3，
解得b＝－4.
(2)将b＝－4代入直线y＝2x＋b，得AB所在的直线方程为2x－y－4＝0，
设P(a,0)，则P到直线AB的距离为d＝.
△APB的面积S＝××3＝39，则a＝－11或15，
所以P点的坐标为(－11,0)或(15,0)．
20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，
则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
故x＝12时，f(x)取到极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f(x)＝x2＋aln x(a<0)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值；
(2)若∀x>0，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 由题意，x>0.
(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－ln x，
f′(x)＝x－，
令f′(x)＝x－>0，解得x>1，
所以f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
f′(x)＝x－<0，得0
所以函数f(x)在x＝1处有极小值f(1)＝.
(2)因为a<0，f′(x)＝x＋.
令f′(x)＝0，所以x＝，
列表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
这时f(x)min＝f()＝－＋aln，
因为∀x>0，不等式f(x)≥0恒成立，
所以－＋aln≥0，所以a≥－e，
所以a的取值范围为[－e,0)．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点A，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围.
【导学号：26160110】
【解】 (1)由题意e＝，
即e＝＝，∴a＝2c.
∴b2＝a2－c2＝(2c)2－c2＝3c2.
∴椭圆C的方程可设为＋＝1.
代入A，得＋＝1.
解得c2＝1，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1，
(2)由方程组
消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由题意，Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
整理得：3＋4k2－m2＞0，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为P(x0，y0)，
x0＝＝－，
y0＝kx0＋m＝.
由已知，MN⊥GP，即kMN·kGP＝－1，
即k·＝－1，
整理得：m＝－.
代入①式，并整理得：k2＞，
即|k|＞，∴k∈∪.