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课时提升作业(十一)
复数代数形式的乘除运算
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2014·福建高考)复数z=(3-2i)i的共轭复数等于 ( )
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i
【解题提南】用复数的运算法则进行计算.
【解析】选C.因为z=2+3i,所以=2-3i.
2.i是虚数单位,复数等于 ( )
A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i
【解析】选B.===2-i.
【补偿训练】计算(1+2i)÷(3-4i)= .
【解析】(1+2i)÷(3-4i)==
==
=-+i.
答案：-+i
3.复平面内表示复数i(1-2i)的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选A.复数i(1-2i)=2+i,在复平面内对应的点的坐标是(2,1),位于第一象限.
4.(2014·广东高考)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z= ( )
A.-3-4i B.-3+4i
C.3-4i D.3+4i
【解题指南】本题既可以利用z=|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答.
【解析】选D.方法一:因为|3-4i|=5,|3-4i|2=25,
所以z==3+4i.
方法二:因为(3-4i)z=25,所以z==3+4i.
5.已知a是实数,i是虚数单位,复数是纯虚数,则a等于 ( )
A.1 B.-1 C. D.-
【解析】选A.==是纯虚数.则所以a=1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·岳阳高二检测)已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=(1+i)2，则ix+y= .
【解析】由题意知z=(1+i)2=2i，又z=x+yi=2i，
故y=2，x=0，故ix+y=i2=-1.
答案：-1
【补偿训练】若复数z=1+2i(i为虚数单位),则z·-z= .
【解析】因为z=1+2i,所以z·=5,
所以z·-z=5-(1+2i)=4-2i.
答案:4-2i
7.(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .
【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运算求解即可.
【解析】因为复数a+bi(a,b∈R)的模为,即=,
所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.
答案:3
8.(2015·石家庄高二检测)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .
【解题指南】根据复数的运算法则和复数相等的条件求解.
【解析】因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以a+bi=1+2i.
答案:1+2i
【补偿训练】(2015·大连高二检测)已知=b+i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b= .
【解析】==2-ai=b+i.
所以a=-1，b=2，
所以a+b=1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.计算:(1)(-+i)(+i)(1+i).
(2).
【解析】(1)(-+i)(+i)(1+i)
=(--i+i+i2)(1+i)
=(-+i-)(1+i)
=(-+i)(1+i)
=--i+i-
=-+i.
(2)原式=
===1.
10.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.
若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.
【解题指南】先利用复数的除法运算化简z2,再利用z1,z2实部相等,虚部互为相反数列出关于a,b的方程组求解.
【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b
=(-b-1)+(1-b)i,
z2==
==+i,
由于z1和z2互为共轭复数,
所以有解得
【补偿训练】1.已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i，求x与y.
【解析】设y=bi(b∈R且b≠0)，
代入条件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i.
由复数相等的条件得解得
所以x=-，y=4i.
2.若f(z)=2z+-3i，f(+i)=6-3i，试求f(-z).
【解题指南】设出z=a+bi(a，b∈R)，根据复数相等的充要条件，列关于a，b的关系式求出a，b，即可求出z，根据函数解析式可求f(-z).
【解析】因为f(z)=2z+-3i，
所以f(+i)=2(+i)+-3i
=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
又f(+i)=6-3i，
所以2+z-2i=6-3i.
设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，
所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i，
即3a-bi=6-i.
由复数相等的定义，得
解得所以z=2+i，
故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足=i,则|z|= ( )
A.1 B. C. D.2
【解题指南】将=i化为z=a+bi的形式,利用|z|=求解.
【解析】选A.因为=i,所以z===i,故|z|=1.
2.定义新运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为 ( )
A.3-i B.1+3i C.3+i D.1-3i
【解析】选A.由=4+2i得zi+z=4+2i,
即z(1+i)=4+2i.
所以z=====3-i.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为 .
【解题指南】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式，然后利用复数的模的公式计算即可.
【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，
所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi，
因为z2=3+4i，
根据复数相等的定义知
解得
所以|z|==.
答案：
4.(2015·南昌高二检测)设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于 .
【解题指南】设z=a+bi(a,b∈R),根据已知条件求解.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
因为z+=4,所以a=2,
又因为z·=8,所以b2+4=8,所以b2=4.
所以b=±2,即z=2±2i,故=±i.
答案:±i
【补偿训练】已知=(|z|-1)+5i，则复数z= .
【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，则a-bi=-1+5i.
于是
解得
所以z=12-5i.
答案：12-5i
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.
【解题指南】根据复数四则运算法则,类比多项式乘法运算,先求得z1,再根据z1z2是实数,设z2=a+2i(a,b∈R),结合复数相等列出关于a的方程求解.
【解析】因为(z1-2)(1+i)=1-i,
所以z1=+2=2-i.设z2=a+2i(a,b∈R),
则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1z2∈R,所以4-a=0,a=4.
所以z2=4+2i.
6.(2015·东莞高二检测)已知复数z=.
(1)求z的实部与虚部.
(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.
【解析】(1)z===2+i,
所以z的实部为2,虚部为1.
(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,
得(2+i)2+m(2-i)+ n=1-i,
解得:解得m=5,n=-12.
【方法锦囊】解复数综合应用题的方法
(1)转化:复数的加减运算,可以通过运算转化为实数的运算;复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算;复数的除法运算可把分子分母都乘以分母的共轭复数,将分母变为实数,转化为乘法运算.
(2)数形结合:利用复数的运算法则和复数的几何意义解综合应用题,具体方法是利用复数的概念,把复数转化为点的坐标或向量,且复数的加减运算的几何意义分别满足平行四边形法则和三角形法则,结合平面几何以及函数的相关知识来解决问题.
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