本章教材分析
1.本章知识结构如下:
2.本章学习的内容主要是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的一种重要函数,与其他的函数相比,具有许多重要的特征:它以角为自变量,是周期函数.三角函数是解决其他问题的重要工具,是高中阶段学习的最后一个基本初等函数,是深化函数性质的极好素材.本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.
3.本章教学的重点是三角函数的定义,同角三角函数的基本关系式,正弦函数的图象及基本性质.难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握.关键是学好三角函数定义.从实际教学情况来看,教学中应重视学生的画图.“五点画图”虽然简单,但却易学难掌握.在本章教学中,教师应根据学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举熟知的实例,创设丰富的情境,使学生体会三角函数模型的意义.教学时,可结合本章引言的章头图,让学生围绕这些问题展开讨论,通过思考,让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律,从而激发学生的求知欲.
4.三角函数的内容一直是高考的重要内容,特别是三角函数的图象和性质,及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识,频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低,却是经久不衰的高考考查内容.
5.本章教学时间约需16课时,具体分配如下(仅供参考):
标 题
课 时
1.1任意角和弧度制
约2课时
1.2任意角的三角函数
约3课时
1.3三角函数的诱导公式
约2课时
1.4三角函数的图象与性质
约4课时
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
约2课时
1.6三角函数模型的简单应用
约2课时
本章复习
约1课时
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
整体设计
教学分析
教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.
学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.
三维目标
1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.
2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.
3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.
重点难点
教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.
教学难点:用集合来表示终边相同的角.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
图1
思路1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.
思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?
②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?
③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?
活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.
我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.
如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,那么α=0°.
讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.
②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.
③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°……
提出问题
①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.
②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?
活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.
今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
讨论结果:①能.
②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:
210°角是第三象限角;
-45°角是第四象限角;
-150°角是第三象限角.
特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.
可以借此进一步设问:
锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?
将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?
提出问题
①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?
活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.
为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.
至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.
讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.
设S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和.
适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
应用示例
例1 在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.
点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.
学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.
让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.
图2
解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,
即90°和270°角,如图2.
因此,所有与90°的终边相同的角构成集合
S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.
而所有与270°角的终边相同的角构成集合
S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是,终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2
={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.
点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.
变式训练
①写出终边在x轴上的角的集合.
②写出终边在坐标轴上的角的集合.
答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.
②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
图3
解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合
S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.
S中适合-360°≤β<720°的元素是:
45°-2×180°=-315°,
45°-1×180°=-135°,
45°+0×180°=45°,
45°+1×180°=225°,
45°+2×180°=405°,
45°+3×180°=585°.
点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.
例4 写出在下列象限的角的集合:
①第一象限; ②第二象限;
③第三象限; ④第四象限.
活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.
解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角;
直角不属于任何一个象限,不属于任何一个象限的角不一定是直角;
钝角是第二象限角,但是第二象限角不一定是钝角.
点评:要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系,并理解记忆.为弄清概念的本质属性,还可以再进一步启发设问:
锐角一定小于90°吗?小于90°的角一定是锐角吗?
钝角一定大于90°吗?大于90°的角一定是钝角吗?
答案当然是:不一定.
让学生展开讨论,在争论中,将对问题的认识进一步升华,并牢牢的记忆这些基础知识.
2.三、三、五.
点评:本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实际,把教科书中除数360换成每个星期的天数7,利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星期三,这样的练习难度不大,可以口答.
3.(1)第一象限角.
(2)第四象限角.
(3)第二象限角.
(4)第三象限角.
点评:能作出给定的角,并判断是第几象限的角.
4.(1)305°42′,第四象限角.
(2)35°8′,第一象限角.
(3)249°30′,第三象限角.
点评:能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角,并判断是第几象限的角.
5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′.
(2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°.
点评:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合,并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角.
课堂小结
以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:
让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:
本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.
数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
①课本习题1.1 A组1、3、5.
②预习下一节:弧度制.
设计感想
1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.
2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.
3.几点说明:
(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.
(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.
(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.