1.2.2 同角三角函数的基本关系
整体设计
教学分析
与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.
同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin24π+cos24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义的值,即α≠kπ+,k∈Z.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.
三维目标
1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.
2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.
3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.
重点难点
教学重点:课本的三个公式的推导及应用.
教学难点:课本的三个公式的推导及应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:
(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;(3);(4).
推进新课
新知探究
提出问题
①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?
图1
如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.
由勾股定理有OM2+MP2=1.
因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1).
显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.
根据三角函数的定义,当α≠kπ+,k∈Z时,有
=tanα(等式2).
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.
活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.
问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.
讨论结果:
①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+,k∈Z.
②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第二个等式2求出正切.
应用示例
思路1例1 已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.
活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.
解:因为sin2α+cos2α=1,所以
cos2α=1-sin2α=1-()2=.
又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα==,
从而tanα==×()=.
点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.
应使学生清楚tanα=中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.
例2 已知cosα=,求sinα,tanα的值.
活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.
启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x轴的负半轴上(这时cosα=-1).
解:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么
sinα===,
tanα==×()=,
如果α是第三象限角,那么sinα=,tanα=.
点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.
思路2
例1 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.
活动:引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα=,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα.
解:因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α.
又因为tanα=,所以tan2α==.
于是=1+tan2α,cos2α=.
由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而
cosα=
sinα=cosαtanα=
点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.
变式训练
已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.
解:本题仿照上题可以比较顺利完成.
sinα=
tanα=
例2 求证:
活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从算式一边到另一边的证法,算式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos2x=1-sin2x,也就是sin2x+cos2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.
证法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是
左边=
所以原式成立.
证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,
且1-sinx≠0,cosx≠0,所以教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.
证法三:因为
所以
点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.
例3 化简
活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于cos80°>0,因此=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.
解:原式====cos80°.
点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.
变式训练
化简:
答案:cos40°-sin40°.
点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.sinα=,tanα=.
2.当φ为第二象限角时,sinφ=,cosφ=
当φ为第四象限角时,sinφ=,cosφ=.
3.当θ为第一象限角时,cosθ≈0.94,tanθ≈0.37.
当θ为第二象限角时,cosθ≈-0.94,tanθ≈-0.37.
4.(1)cosθtanθ=cosθ=sinθ;
(2)
5.(1)左=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=右;
(2)左=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1=右.
课堂小结
由学生回顾本节所学的方法知识:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).
“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值.
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.
作业
1.化简(1+tan2α)cos2α;
2.已知tanα=2,求的值.
答案:1.1;2.3.
设计感想
公式的推导和应用是本节课的重点,也是本节课的难点.
公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,这类问题可按下列情形分别处理:
(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;
(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.
三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.
证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:
(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.
(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.
教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.
使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.