3.2.2 空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学难点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算..
【课前准备】：Powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．两个向量的数量积如何运算？
2．向量的模与向量的数量积是什么关系？
3．向量的加法法则。
为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
回到图形问题
这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析:
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
分析:
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
解：
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值
解：如图
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。
因此
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
思考：
（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为.
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
分析：二面角 平面角 向量的夹角 回归图形
解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。
2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。
例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。
提醒学生不能缺少这一步。
转化为向量。
这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.
让学生体会空间距离的转化。
及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。
例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。
以下设计与例1类似。
三、拓展与提高
如图6，在棱长为a的正方体 中，E,F分别是棱 AB,BC上的动点，且AE=BF。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角
的正切值。
学生进行提高训练应用.
四、小结
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
2．面面距离点面距离向量的模回归图形
二面角平面角向量的夹角回归图形
反思归纳
五、作业
课本P121 第 2、4 题。
练习与测试：
（基础题）
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
答：C。
2．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
答：B。
3，把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ）
A．90° B． 60° C，45° D． 30°
答：C。
4，已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为 ．
答：或。
（中等题）
5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，
这条线段与这个二面角的棱所成的角为 。
答：
6，棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的三角函数值；
（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．
解：（1）连BP，则角APB为直线与平面所成的角，
（2）
所以