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[学业达标]
一、选择题
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
【解析】 根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．
【答案】 D
2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )
A．n0＝1 B．n0＝2
C．n0＝1,2 D.以上答案均不正确
【解析】 需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．
【答案】 A
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋
A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
【解析】 1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．
【答案】 D
4．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D.不存在
【解析】 令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的，
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意>，∴m<14.因此取m＝13.
【答案】 B
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
【解析】 ∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，少了一项.
【答案】 C
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．
【解析】 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
【答案】 21＋1≥12＋1＋2
7．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
【解析】 当n＝2时，要证明的式子为
2＜1＋＋＋＜3.
【答案】 2＜1＋＋＋＜3
8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．
【解析】 由题中已知不等式可猜想：
＋＋＋…＋
≥(n≥3且n∈N＋)．
【答案】 ＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
【解】 (1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
∴－＝2.
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．
【证明】 由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
[能力提升]
1．对于正整数n，下列不等式不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D.0.1n≤1－0.9n
【解析】 排除法，取n＝2，只有C不成立．
【答案】 C
2．利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为________.
【导学号：32750071】
【解析】 n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.
【答案】 2
3．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为____________________.
【解析】 当n＝1时，M＝a＋b＝N，
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，
当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，
归纳得M≥N.
【答案】 M≥N
4．已知f(x)＝，对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．
【解】 据题意f(x)＝＝＝1－，
∴f()＝1－.
又＝1－，∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，
当n＝1时，21＝2＞12＝1，
当n＝2时，22＝4＝22，
当n＝3时，23＝8＜32＝9，
当n＝4时，24＝16＝42，
当n＝5时，25＝32＞52＝25，
当n＝6时，26＝64＞62＝36.
故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，
下面用数学归纳法加以证明．
(1)当n＝5时，不等式显然成立．
(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＞k2.
则当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1
＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，
即n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)(2)可知，
对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．
综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞，
当n＝2或n＝4时，f()＝，
当n＝3时，f()＜.