章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：
图1
①＝；②＝；③＝；④＝.
其中正确式子的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【解析】 由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B.
【答案】 B
2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
【导学号：07370024】
图2
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
【解析】 由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵2＝＝，
∴＝，
∴AD∶DB＝1∶2.
【答案】 C
3．如图3所示，将△ABC的高AD三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3等于( )
图3
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4
C．1∶3∶5 D．3∶5∶7
【解析】 如图所示，E，F分别为△ABC高AD的三等分点，过点E作BC的平行线交AB，AC于点M，N，过点F作BC的平行线交AB，AC于点G，H.△AMN∽△ABC，＝，∴S1＝S△ABC.
又△AGH∽△ABC，＝，S△AGH＝S1＋S2，
∴S1＋S2＝S△ABC，
∴S2＝S△ABC，∴S3＝S△ABC，
∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故选C.
【答案】 C
4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于( )
图4
A．5∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
【解析】 过D作DG∥AC，交
BC于G，
则DG＝DB＝3CE，
即CE∶DG＝1∶3.
易知△DFG∽△EFC，
∴DF∶FE＝DG∶CE，
所以DF∶FE＝3∶1.
【答案】 C
5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：
图5
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；
④S△AOD＝S△BOC.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．
∵S△ADC＝S△BCD，
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC，④正确．
故①③④正确．
【答案】 C
6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高( )
图6
A．11.25 m B．6.6 m
C．8 m D．10.5 m
【解析】 本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m.
【答案】 C
7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为( )
图7
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
【解析】 ∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，
∴△ABE∽△DBA.
∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
∴AB2∶DB2＝1∶5，
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，DB＝k，则AD＝2k.
∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40，
∴k＝2，
∴BD＝k＝10，AD＝4，
S△ABD＝BD·AE＝20，即×10·AE＝20，
∴AE＝4 cm.
【答案】 A
8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 △ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是( ) 【导学号：07370025】
图8
A.－1 B.
C．1 D.
【解析】 由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶.
又∵AB＝，∴A′B＝1，
∴AA′＝－1.
【答案】 A
9．如图9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD＝( )
图9
A. B.
C. D.
【解析】 设CD＝，则AD＝3，BD＝1，∴＝.
【答案】 A
10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】 如图，连接AC，CB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
【答案】 B
11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金( )
图10
A．500元 B．1 500元
C．1 800元 D．2 000元
【解析】 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC，
AD＝10 m，BC＝20 m，
＝2＝，
∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200 m2，
则还需要资金200×10＝2 000(元)．
【答案】 D
12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为( )
图11
A．1∶ B．1∶
C.∶1 D.∶1
【解析】 ∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD.
∵BF＝AD，∴AB2＝AD2，∴AD∶AB＝∶1.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.
图12
【解析】 ∵DE∥BC，
∴＝，
同理＝，
∴＝＝＝.
【答案】 4∶3
14．如图13，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米. 【导学号：07370026】
图13
【解析】 如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.
∴△GCD∽△ABD，∴＝.
设BC＝x，则＝，同理，得＝.
∴＝，∴x＝3，∴＝，
∴AB＝6(米)．
【答案】 6
15．如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，且AD，BE交于点G，那么＝________.
图14
【解析】 ∵AD，BE是△ABC的中线，且AD交BE于G，
∴G是△ABC的重心，∴＝，
∴＝，
又∵D为BC的中点，∴＝，∴＝.
【答案】
16．如图15，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则DE＝________.
图15
【解析】 法一：因为AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，则CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos ∠ECD＝2＋()2－2×××＝，故DE＝.
法二：如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝，BC＝3，所以tan ∠BAC＝＝，则∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝，AN＝ME＝AEsin ＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
图16
(1)求证：BE·AD＝CD·AE；
(2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．
【解】 (1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC.
∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，∴＝，
即BE·AD＝CD·AE.
(2)猜想：＝.
证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴＝，
又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，
∴＝.
18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．
图17
【解】 ∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP，
∴Rt△APQ∽Rt△BCP.
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1，∴＝，
即AQ＝＝＝，
∴PQ＝＝ ＝.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．
【解】 (1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.
∴∠BCA＝∠BAD＝65°；
(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，
由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，
∴∠B＝∠CAD＝25°，
∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.
故∠BCA等于65°或115°.
20．(本小题满分12分)如图18所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
图18
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
【证明】 (1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5，
∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC.
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB.
(1)若点P在梯形内部，如图19(1)．
求证：BP2＝PE·PF.
(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(1) (2)
图19
【解】 (1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，
∠PBC＝∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，
即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，
所以∠ABP＝∠DCP.
又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，
而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.
所以＝，即PC2＝PE·PF，
又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.
(2)结论成立．证明如下：
连接PC，
由对称性知PB＝PC，
所以∠PBC＝∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，
所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，
即∠ABP＝∠DCP.
因为CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PCF＝180°，
所以∠PEC＝∠PCF.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF.
所以＝，即PC2＝PE·PF，
所以BP2＝PE·PF.
22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上的一点，＝(m，n>0)．取CF的中点D，连接AD并延长交BC于E.
图20
(1)求的值；
(2)如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；
(3)E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论．
【导学号：07370027】
【解】 (1)如图所示，作CG∥AB交AE的延长线于G.
在△GCD与△AFD中，
∠G＝∠FAD，∠CDG＝∠FDA，DC＝DF，
∴△GCD≌△AFD，∴GC＝AF.
在△ABE和△GCE中，
∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE∽△GCE.∵＝(m，n>0)，
∴＝＝＝＋1＝＋1.
(2)∵BE＝2EC，∴＝2.
由(1)知＝＋1，∴＝1.
∴BF＝AF，F为AB的中点．
∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直线垂直平分边AB.
(3)不能．∵＝＋1，而>0，∴>1，
∴BE>EC.
∴E不能为BC的中点．