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课时提升作业 八
反证法与放缩法
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)证明命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是 ( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a不能被5整除
D.a,b有一个不能被5整除
【解析】选B.“a,b至少有一个能被5整除”包括“a,b中有且只有一个能被5整除或a,b都能被5整除”,其反面为“a,b都不能被5整除”.
【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是( )
A.三个内角中至少有一个钝角
B.三个内角中至少有两个钝角
C.三个内角都不是钝角
D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
【解析】选B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”.
2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为
( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a≤0,b>0,c>0
C.a,b,c不全是正数 D.abc<0
【解析】选C.a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正数.
3.已知a>0,b>0,设P=+,Q=,则P与Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.P
【解析】选A.因为a>0,b>0,所以P=+>+==Q,所以P>Q.
【补偿训练】已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.P
【解析】选A.由等比数列知识得Q==,
又P=,且a3>0,a3≠a9,
所以>=,故P>Q.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.(2016·泰安高二检测)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故结论错误;
②所以一个三角形不可能有两个直角;
③假设△ABC有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°;
上述步骤的正确顺序是____________.
【解析】由反证法的证题步骤可知,正确顺序应该是③①②.
答案:③①②
5.已知a∈R+,则,,从大到小的顺序为________.
【解析】因为+>+=2,
+<+=2,
所以2<+<2,
所以>>.
答案:>>
【补偿训练】log23与log34的大小关系是________.
【解析】log23-log34=-=
>
=
>=0,
所以log23-log34>0,所以log23>log34.
答案:log23>log34
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.已知a>0,b>0,且a+b>2.求证:,中至少有一个小于2.
【证明】假设,都不小于2,
则≥2,≥2.
因为a>0,b>0,
所以1+b≥2a,1+a≥2b.
所以2+a+b≥2(a+b),即2≥a+b,
这与a+b>2矛盾.
故假设不成立.即,中至少有一个小于2.
7.设n是正整数,求证:≤++…+<1.
【证明】由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),
得≤<.
当k=1时,≤<;
当k=2时,≤<;
…
当k=n时,≤<.
所以=≤++…+<=1.
即原不等式成立.
8.已知a≥-1,求证以下三个方程:
x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.
【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程的判别式都小于0,即:
所以
所以-
1.(2016·锦州高二检测)(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2.
(2)已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设至少有一根的绝对值大于等于1.以下结论正确的是 ( )
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)的假设错误,(2)的假设正确
【解析】选D.(1)的假设应为p+q>2,(2)的假设正确.
2.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数 ( )
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
【解析】选C.因为a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立,
所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设M=+++…+,则M与1的大小关系为________.
【解析】因为210+1>210,210+2>210,…,211-1>210,
所以M=+++…+
<++…+=1.
答案:M<1
4.(2016·石家庄高二检测)某同学准备用反证法证明如下一个问题:
函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1).如果对于不同的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|<,那么他的反设应该是________.
【解析】对任意x1,x2∈[0,1](x1≠x2)都有|f(x1)-f(x2)|<的反面是存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2有|f(x1)-f(x2)|≥.
答案:存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2使|f(x1)-f(x2)|≥
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知0
【证明】假设a(3-b)>,b(3-c)>,c(3-a)>.
因为a,b,c均为小于3的正数.
所以>,>,>,
从而有++>.①
但是++
≤++
==.②
显然②与①相矛盾,假设不成立,故命题得证.
【补偿训练】已知f(x)=ax+(a>1),证明:方程f(x)=0没有负数根.
【证明】假设x0是f(x)=0的负数根,
则x0<0且x0≠-1且=-,
由0<<1⇒0<-<1,解得
6.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足
-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.
(1)求a1的值.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.
【解析】(1)令n=1得:-(-1)S1-3×2=0,
即+S1-6=0,所以(S1+3)(S1-2)=0,
因为S1>0,所以S1=2,即a1=2.
(2)由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得:
(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,
因为an>0(n∈N*),Sn>0,
从而Sn+3>0,所以Sn=n2+n,
所以当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,
又a1=2=2×1,所以an=2n(n∈N*).
(3)当k∈N*时,k2+>k2+-
=,
所以=
=·<·
=·
=·
所以++…+
<
=
=-<.
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