课时跟踪检测(九) 弦切角的性质
一、选择题
1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则( )
A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠P
C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA
解析：选C 由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
解析：选B 连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°.
连接BC，
则∠B＝∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2 B．3 C．2 D．4
解析：选C 连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
4．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A
连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP得
＝.
∴PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
二、填空题
5．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.
解析：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∠ACE＝40°，
∴∠PCB＝∠PBC＝50°.
∴∠P＝80°.
答案：80°
6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析：连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.
∵PB＝OB＝2，
OC＝2.
∴PC＝2.
∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
答案：
7．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
解析：由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA，
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以＝.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.
答案：
三、解答题
8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.
求证：CB＝CE.
证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，
所以∠ACB＝90°，
即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，
又∠DAC＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，
所以CB＝CE.
9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．
解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，
所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，
所以∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，
又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，所以＝，
即AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，
所以6·(6－AE)＝16.
所以AE＝ (cm)．
10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求AC∶BC.
解：(1)∵AC为圆O的切线，
∴∠B＝∠EAC.
又DC是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.
又∵BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCA.∴＝.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADF＝30°.
∴在Rt△ABE中，＝＝tan ∠B＝tan 30°＝.