高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评18 Word版含答案

学业分层测评(十八)　古典概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列试验中，属于古典概型的是(　　)
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【解析】　依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．
【答案】　C
2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)
A.　 B．
C. D．
【解析】　从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为＝.故选C.
【答案】　C
3．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝.
【答案】　A
4．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.
【答案】　C
5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　点(a，b)取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
【答案】　B
二、填空题
6．(2016·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图3­2­1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
图3­2­1
【解析】　该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
【答案】　
7．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．
【解析】　从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n＝10；
而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.
设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A，则A所包含的基本事件数为m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)＝＝＝.
【答案】　
8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________. 【导学号：28750058】
【解析】　基本事件共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10种情况．相差0.3 m的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两种情况，
所以P＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
【解】　设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3)．
则中奖概率为P(B)＝＝.
10．(2016·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
【解】　(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，
所以所求概率为.
[能力提升]
1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)
A.　 B．
C. D．
【解析】　个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)，符合条件的两位数．
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)，符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.
【答案】　D
2．(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
【解析】　记3件合格品为a1，a2，a3，2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．
记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．
故其概率为P(A)＝＝0.6.
【答案】　B
3．(2016·南阳高一检测)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16上或其内部的概率是________．
【解析】　连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共有36种情况，其中点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16上或其内部的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种情况，所以P＝＝.
【答案】　
4．(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲 社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
【解】　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.