高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评9 Word版含答案

学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．与同一平面平行的两条直线(　　)
A．平行　 B．相交
C．异面 D．平行或相交或异面
【解析】　如图：
故选D.
【答案】　D
2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作(　　)
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
【解析】　若两点所在直线与平面相交，则为0个，若平行则可作1个．
【答案】　C
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB⊂α
【解析】　结合图形可知选项C正确．
【答案】　C
4．以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；
④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
【解析】　对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.
【答案】　D
5．如果点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面(　　)
A．只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
【解析】　当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.
【导学号：09960057】
【解析】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．
【答案】　平行或相交或b在α内
7．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
【解析】　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
【答案】　3
三、解答题
8．如图2­1­27所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
图2­1­27
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．
【解】　(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．
9．三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b，
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
【解】　(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，a，b没有公共点．因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
[自我挑战]
10．两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：
(1)a与β内的所有直线平行；
(2)a与β内无数条直线平行；
(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；
(4)a与β无公共点．
其中正确命题的个数有(　　)
【导学号：09960058】
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　由α∥β，a⊂α，可知a∥β，因此(2)(4)正确．
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
取A1B1为a，平面ABCD为β，平面A1B1C1D1为α，
则a⊂α，α∥β，显然β内的直线BC⊥A1B1，所以(1)(3)不正确．故选B.
【答案】　B
11．如图2­1­28所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
图2­1­28
【解】　如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于N，连接NB并延长交EF的延长线于M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．
在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．