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单元质量评估(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.可用分数指数幂表示为 ( )
A. B.a3
C. D.都不对
【解析】选C.====.故选C.
2.(2015·怀柔高一检测)指数函数y=ax的图象经过点,则a的值是( )
A. B. C.2 D.4
【解析】选B.因为y=ax的图象经过点,所以a3=,解得a=.
3.等于 ( )
A.2 B.2+
C.2+ D.1+
【解析】选A.=2×=2.
4.若100a=5,10b=2,则2a+b= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.因为100a=102a=5,10b=2,
所以100a×10b=102a+b=5×2=10,即2a+b=1.
【一题多解】选B.由100a=5得a=log1005,
由10b=2得b=lg2,
所以2a+b=2×lg5+lg2=1.
5.(2015·塘沽高一检测)(log29)·(log34)= ( )
A. B. C.2 D.4
【解析】选D.(log29)·(log34)=·
=·=4.
【补偿训练】对数式lo(2-)的值是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.不存在
【解析】选A.lo(2-)=lo
=lo(2+)-1
=-1.
6.已知-1
C.2a<(0.2)a< D.<(0.2)a<2a
【解析】选B.由-1
【补偿训练】(2014·邢台高一检测)设a=lo3,b=,c=,则a,b,c的大小顺序为 ( )
A.a
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.作出两个函数在同一坐标系内的图象如图所示,即可观察得出.
8.若函数y=f的定义域是[2,4],则y= flox的定义域是 ( )
A. B.
C.[4,16] D.[2,4]
【解析】选B.由于2≤lox≤4,即lo≤lox≤lo,所以≤x≤,故选B.
【误区警示】本题易误认为函数y= f中的变量x也应在[2,4]上从而造成错选D.
9.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=lox,则方程f(x)=1的解集是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.f-1(x)=lox,则f(x)=,f(x)=1可得x=0.
【一题多解】选D.f(x)=1根据互为反函数的性质得x=f-1(1)=lo1=0.
10.(2015·邢台高一检测)已知f(10x)=x,则f(5)= ( )
A.105 B.510 C.lg 10 D.lg 5
【解题指南】利用换元法,先求出函数的解析式,再计算f(5)的值.
【解析】选D.令10x=t>0,则x=lgt,故f(t)=lgt,所以函数f(x)=lgx(x>0),故f(5)=lg5.
11.(2015·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M,N,P,Q,
G中,可以是“好点”的个数为 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.设此函数为y=ax(a>0,a≠1),显然不过点M、P,若设对数函数为y=logbx(b>0,b≠1),显然不过N点,故选C.
12.已知函数g(x)=2x-,若f(x)=则函数f(x)在定义域内
( )
A.有最小值,但无最大值
B.有最大值,但无最小值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,又无最小值
【解析】选A.当x≥0时,函数f(x)=g(x)=2x-在[0,+∞)上单调递增,设x>0,则-x<0,f(x)=g(x),f(-x)=g(x),则f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,综上可知函数f(x)在x=0处取最小值f(0)=1-1=0,无最大值.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.函数y=的定义域是 .
【解析】因为lo(x-1)≥0,所以0
【补偿训练】函数y=的定义域为 .
【解析】因为log0.5(4x-3)≥0,所以0<4x-3≤1,
所以
14.(2015·沈阳高一检测)已知函数f(x)=则f的值为 .
【解析】因为>0,所以f=log3=log33-2
=-2,所以f(-2)=2-2=.
答案:
15.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 .
【解析】函数f(x)的定义域为,
设u=2x+1,f(x)=log5u(u>0)是单调增函数,因此只需求函数u=2x+1的单调增区间,而函数u=2x+1在定义域内单调递增.
所以函数f(x)的单调增区间是.
答案:
16.(2015·通化高一检测)已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 .
【解题指南】由于函数在(-∞,+∞)上是减函数,故此分段函数应在每一段上也为减函数,且当x=1时应有3a-1+4a≥0,以此确定a的值.
【解析】由于函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则有,解得≤a<.
答案:
【延伸探究】若本题将函数改为“f(x)=”且在
(-∞,+∞)上是增函数,又如何求解a的取值范围?
【解析】由于函数f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,则有:,解得a>1.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:(1)2log32-log3+log38-.
(2)log2.56.25+lg+ln(e)+log2(log216).
【解析】(1)原式=log34-log3+log38-2
=log3-
=log39-9=2-9=-7.
(2)原式=2-2++log24=.
18.(12分)(2015·咸阳高一检测)已知f(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1)
(1)求f(x)的定义域.
(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.
【解析】(1)依题意得1-x>0,解得x<1,故所求定义域为{x|x<1}.
(2)由f(x)>0得loga(1-x)>loga1,当a>1时,1-x>1即x<0,当0
【解析】因为f(x)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以f(x)=x-3或f(x)=x3,又易知f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数.所以f(x)=x3.
20.(12分)(2015·临沂高一检测)已知f是偶函数,当x≥0时,f=ax,若不等式f≤4的解集为[-2,2],求a的值.
【解题指南】由已知先求出x<0的解析式,根据f≤4,利用分段函数分段求解,结合其解集为[-2,2],确定出a的值.
【解析】当x<0时,-x>0,f(-x)=a-x,
因为f为偶函数,所以f=a-x,
所以f=(a>1),所以f≤4化为或,
所以0≤x≤loga4或-loga4≤x<0,由条件知loga4=2,所以a=2.
21.(12分)设a>0,f(x)=+是R上的偶函数.
(1)求a的值.
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
【解题指南】(1)根据题意,利用偶函数的定义对一切x∈R有f(-x)=f成立,确定出a的值.
(2)利用函数单调性的定义证明.
【解析】(1)依题意,对一切x∈R有f(-x)=f成立,即+=+aex,所以=0,对一切x∈R成立,由此得到a-=0,所以a2=1,又a>0,所以a=1.
(2)设0
22.(12分)(2015·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=loga(x+3)-loga(3-x),a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性.
(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
【解析】(1)由题得解得-3
(2)函数f(x)为奇函数,
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,
f(-x)=loga(-x+3)-loga(3+x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(3)当a>1时,函数f(x)为增函数,从而函数f(x)在区间[0,1]上也为增函数,最大值为f(1)=loga4-loga2=loga2.
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