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[达标必做]
一、选择题
1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
A.π B.
C．4π D．32π
【解析】 设正方体边长为a，由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.
【答案】 C
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C.∶ D.∶
【解析】 ∶＝r3∶R3＝8∶27，
∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.
【答案】 B
3．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵πr2h＝πR3，∴R＝.
【答案】 C
4．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
【导学号：09960032】
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
【解析】 根据球的截面性质，有R＝＝＝5，
∴V球＝πR3＝π(cm3)．
【答案】 C
5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )
A．S球
球半径为R，正方体棱长为a，
则πr2·2r＝πR3＝a3，3＝，3＝2π，
S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，
＝＝·2＝<1，
＝＝·2＝>1，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．一个几何体的三视图(单位：m)如图1316所示，则该几何体的体积为________m3.
图1316
【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；
上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，
所以V＝π×3×2＋1×3×6＝9π＋18.
【答案】 9π＋18
7．(2016·河源高二检测)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.
【导学号：09960033】
【解析】 设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R－1，
则(R－1)2＋32＝R2，
解得R＝5 cm，
所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
【答案】 5 100π
三、解答题
8．如图1317，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．
图1317
【解】 设球的半径为R，由题意可得
πR3＝π×32×0.5，
解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.
9．(2016·大同高二检测)如图1318所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
图1318
【解】 S球＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)．
所以该几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．
[自我挑战]
10．一块石材表示的几何体的三视图如图1319所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图1319
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.
【答案】 B
11．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.
【导学号：09960034】
【解】 如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，
所以CD＝AC＝2，
所以AC＝4，AD＝×4＝2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
所以＝.
设OE＝R，则AO＝2－R，
所以＝，所以R＝.
所以V球＝πR3＝π·3＝.
所以球的体积等于.