(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．分析人的身高与体重的关系，可以用( )
A．残差分析 B．回归分析
C．等高条形图 D．独立性检验
解析：选B 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，显然，人的身高与体重具有相关关系．
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
解析：选B 其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
3．下列说法正确的是( )
A．预报变量的值受解释变量的影响，与随机误差无关
B．预报变量的值受随机误差的影响，与解释变量无关
C．预报变量的值与总偏差平方和有关，与残差无关
D．预报变量的值与解释变量和随机误差的总效应有关
解析：选D 依据预报变量的特点知与解释变量和随机误差的总效应有关．
4．类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是( )
A．loga(x＋y)＝logax＋logay
B．sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．ax＋y＝ax＋ay
D．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析：选D 由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．
5．设有一个回归直线方程＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时( )
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
解析：选C x每增加1个单位，y平均减少1.5个单位．
6．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：选C 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
7．(新课标高考)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0 C. D．1
解析：选D 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.
8．分类变量X和Y的列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则以下判断正确的是( )
A．ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强
答案：C
9．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
解析：选B 根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.
10．(江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，D为BC的中点，则AD―→＝(AB―→＋AC―→)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为________．
答案：在三棱锥A－BCD中，G为△BCD的重心，则AG―→＝(AB―→＋AC―→＋AD―→)
12．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________．
解析： 由已知设回归直线方程为
＝＋6.5x，
则回归直线必过(，)．
由于＝＝5，
＝＝50，
所以50＝＋6.5×5.从而解得＝17.5，
所以＝6.5x＋17.5.
答案：＝6.5x＋17.5
13．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表
优秀
及格
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
则随机变量K2约为________．
解析：由列联表知K2的观测值
k＝≈0.600.
答案：0.600
14．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
答案：n2＋n
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分12分)(安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求线性回归方程为
－257＝(x－2006)＋＝6.5(x－2006)＋3.2.
即＝6.5(x－2006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．(未写近似值不扣分)
16．(本题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，
ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：(1)连接AC，设AC∩BD＝O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，
∴OE为△PAC的中位线，
∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PDC.
∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.
又∵PD⊥平面AC，DC⊂平面AC，
∴PD⊥DC，而PD＝DC，
∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC
又BC∩PC＝C，
∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面DEF.
17．(本题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)根据以上数据，可得K2的观测值
k＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以能有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
18．(本小题满分14分)已知数列{an}中，Sn为其前n项和且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1，
(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝(n∈N*)，求证：数列{cn}是等差数列．
证明：(1) ∵Sn＋1＝4an＋2，
∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得
Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)．
即an＋2＝4an＋1－4an.
变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．
∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，
∴bn＋1＝2bn.
∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，
∴S2＝4a1＋2＝6，即a2＝5.
∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3.∴bn＝3·2n－1.
由此可知，数列{bn}是以3为首项，公比为2的等比数列．
(2)∵cn＝(n＝1,2，…)，
∴cn＋1－cn＝－＝＝，
将bn＝3·2n－1代入，得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．
由此可知，数列{cn}是公差为的等差数列．
期中综合检测(二)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列关于K2的说法中正确的是( )
A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B．K2的值越大，两个分类变量相关的可能性就越小
C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适用
D．K2的计算公式为
K2＝
解析：选C K2只适用于2×2列联表问题，故A错；K2越大两个分类变量相关的可能性越大，故B错；选项D中公式错误，分子应为n(ad－bc)2.
2．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋ ( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：选D 因为a、b、c都是正数，则有(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6.故三个数中至少有一个不小于2.
3．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：选B ∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，
∴4－4m＞0，∴m＜1，
由f(1－x)≥－1得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，
即x2＋m≥0，∴m≥－x2，
∵－x2的最大值为0，
∴0≤m＜1.
4．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )
A．由样本数据得到的回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)
B．残差点较均匀落在水平的带状区域中的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．样本点散布在回归直线附近的原因是随机误差的存在
解析：选C R2越大，说明模型的拟合效果越好，故C不正确．
5．下表是性别与是否喜欢足球的统计列联表，依据表中的数据，得到( )
喜欢足球
不喜欢足球
总计
男
40
28
68
女
5
12
17
总计
45
40
85
A.K2＝9.564
B．K2＝3.564
C．K2＜2.706
D．K2＞3.841
解析：选D 由K2＝，
把表中数据代入上式得K2≈4.722.
6．“因为矩形的对角线相等，等腰梯形的对角线相等，所以等腰梯形是矩形”，显然结论是错误的，其原因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大、小前提均错
解析：选C 三段论的推理形式是“M是P，S是M，则S是P”．而上述推理的形式是“M是P，S是P，则S是M”．故犯了推理形式错误．
7．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是( )
A．(0,6]
B．[6，＋∞)
C．[1＋，＋∞)
D．(0,1＋]
解析：选B x＋y＋3＝xy≤()2⇒(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立．
8．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D ∵＝＝1.5，
＝＝4，
∴回归直线必过样本点的中心为(1.5,4)．
9．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 丁同学所得相关系数r＝0.85最大，残差平方和m＝103最小，所以A，B两变量线性相关性更强．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2⇒a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3⇒a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4⇒a4＝＝.
∴猜想an＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：a＝∈(0,1)，
所以函数f(x)＝()x为减函数．
故由f(m)>f(n)得m
解析：a＋(b*c)＝a＋＝＝＝(a＋b)*(a＋c)．
答案：(a＋b)*(a＋c)
13．(广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
解析：设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则
x
173
170
176
y
170
176
182
＝173，＝176，
＝＝1，
＝－＝176－1×173＝3，
∴＝x＋3，
当x＝182时，＝185.
答案：185
14．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈________，可以叙述为“身高解释了56%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的44%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．
解析：由相关指数的概念得R2＝0.56，可以叙述为“身高解释了56%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的44%”．
答案：0.56
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分12分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
于是有－<1＋a＋b<，①
－<4＋2a＋b<，②
－<9＋3a＋b<，③
①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1，
所以－3<8＋4a＋2b<－1，
所以－<4＋2a＋b<－.
这与②－<4＋2a＋b<矛盾，
所以假设不成立，
即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
16．(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．
(2)由对照数据，计算得＝86，
＝＝4.5
＝＝3.5，
已知iyi＝66.5，
∴由最小二乘法确定的回归方程的系数为
＝
＝
＝0.7，
＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
17．(本题满分12分)(福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°·sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
18．(本小题满分14分)想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线附近，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系？
(2)如果年龄相差5岁，则身高有多大差异？(3～16岁之间)
(3)如果身高相差20 cm，其年龄相差多少？
(4)计算残差，说明该函数模型能够较好地反映年龄与身高的关系吗？请说明理由．
解：年龄x与身高y之间有线性相关关系，设线
性回归方程为＝x＋，
(1)由公式＝≈6.314，
＝－＝72.000，
所以＝6.314x＋72.000.
(2)如果年龄相差5岁，则预报变量变化
6．314×5＝31.570(cm)．
(3)如果身高相差20 cm，年龄相差
Δx＝＝3.168≈3(岁)．
(4)＝(yi－)2≈4.53，
(yi－)2＝－n2≈7 227.2，
y
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
90.9
97.3
103.6
109.9
116.2
122.5
128.8
y
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
135.1
141.5
147.8
154.1
160.4
166.7
173.0
R2≈0.999.
所以残差平方和为4.59，相关指数为0.999，
故该函数模型能够较好地反映年龄与身高的关系．