第30课时 二倍角的正弦、余弦和正切
课时目标
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及公式的变形；能灵活运用公式及其各种变形解题．
识记强化
1．二倍角正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan2α＝
2．变形形式
sinα＝2sincos，cosα＝cos2－sin2
＝2cos2－1＝1－2sin2
tanα＝
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α；
cos2α＝，sin2α＝
课时作业
一、选择题
1．已知cosx＝－，x为第二象限角，那么sin2x＝( )
A．－ B．±
C．－ D.
答案：C
解析：因为cosx＝－，x为第二象限角，所以sinx＝，所以sin2x＝2sinxcosx＝2××＝－，故选C.
2．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于( )
A．30°或270° B．45°
C．60° D．30°
答案：D
解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.
3．已知sin α＝，且α∈，那么的值等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：＝＝＝2tanα，
∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－，tanα＝－，2tanα＝－，故选B.
4．化简等于( )
A．sin4＋cos4 B．－sin4－cos4
C．sin4 D．cos4
答案：B
解析：＝＝＝|sin4＋cos4|
∵4∈(π，)，则sin4＋cos4<0
故＝－sin4－cos4.
5．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D．－2
答案：A
解析：由题意可得，sinα＝－＝－，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝－，故选A.
6．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为( )
A．1＋ B.－1
C. D．2
答案：A
解析：y＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx
＝1－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1
＝sin(2x－)＋1，
∴y的最大值为＋1.
二、填空题
7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.
答案：－
解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－.
8．若θ∈(0，π)，且sin2θ＝－，则cosθ－sinθ＝________.
答案：－
解析：∵sin2θ＝－，θ∈(0，π)，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，cosθ－sinθ＜0，
又(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝，∴cosθ－sinθ＝－.
9．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝________.
答案：－
解析：由sin＝，得(sinθ－cosθ)＝⇒sinθ－cosθ＝.解方程组，得或.因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.
三、解答题
10．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解：tan2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tanα＝<1，tanβ＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解：(1)f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx
＝2cos2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋1＋sin2x
＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的值域为[0,3]．
能力提升
12．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
∴tan＝2，∴tanx＝＝＝－.
(2)由(1)，知tanx＝－，
∴＝＝
＝＝×＝×＝.
13．已知函数f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：(1)f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1＝－sin2xcos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2(sin2x－cos2x)＝2 sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，
在区间上是减函数，
又f(0)＝－2，f＝2 ，f()＝2.
故函数f(x)在区间上的最大值为2 ，最小值为－2.