第二章 随机变量及其分布
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7 B．1.7和0.09
C．0.3和0.7 D．1.7和0.21
解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.
答案：D
2．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
0.5
0. 3
0.2
则D(X)等于( )
A．0.7 B．0.61
C．－0.3 D．0
解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.
答案：B
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．
答案：B
4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
答案：B
5．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝( )
ξ
0
1
x
P
p
A.0.36 B．0.52
C．0.49 D．0.68
解析：先由随机变量分布列的性质求得p＝.
由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2，
所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
答案：C
二、填空题
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.
答案：
8．随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
x
y
z
其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．
解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝，
又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z，解得x＝，y＝，z＝0，所以D(X)＝×＋×＋×0＝.
答案：
三、解答题
9．已知随机变量X的分布列为：
X
0
1
x
P
p
若E(X)＝.
(1)求D(X)的值；
(2)若Y＝3X－2，求的值．
解：由＋＋p＝1，得p＝.
又E(X)＝0×＋1×＋x＝，
所以x＝2.
(1)D(X)＝×＋×＋×＝＝.
(2)因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)．
所以＝＝3＝.
10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差E(ξ)(保留3位有效数字)．
解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.
因此ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.7
0.21
0.063
0.027
E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.
D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.
B级 能力提升
1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝，P(ξ＝X2)＝，且X1＜X2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则X1＋X2的值为( )
A. B.
C．3 D.
解析：X1，X2满足
解得或
因为X1＜X2，所以X1＝1，X2＝2，所以X1＋X2＝3.
答案：C
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.
答案：
3．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：
(1)ξ所取各值的分布列；
(2)随机变量ξ的数学期望与方差．
解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ＝0)＝1－×＝；
“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝×＝；
“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2××＝；
“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P(ξ＝4)＝×＝.
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
4
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.