课题：“点差法”在解析几何题中的应用
课时：18
课型：复习课
复习引入：
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.
1求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
解 设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.
例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
解 设，中点，则.
，过定点，.
又，（1），（2）
得：，
.
于是，即.
弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.
2求曲线方程
例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.
解 由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，
解得，.
设，则.
又，（1），（2）
得：，.
所在直线方程为，即.
例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.
解 设，则，且，（1），（2）得：，，，，（3）又，，（4）
而，（5）由（3），（4），（5）可得，
所求椭圆方程为.
3求直线的斜率
例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.
（1）证 略.
（2）解 ，设线段的中点为.
又在椭圆上， ，（1），（2）
得：，
.
直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜率.
4确定参数的范围
例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
解 当时，显然满足.
当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，，
又，.
中点在直线上，，于是.中点在抛物线区域内
，即，解得.
综上可知，所求实数的取值范围是.
5证明定值问题
例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.
证明 设且，
则，（1），（2）
得：，
，.
又，，（定值）.
6处理存在性问题
例8 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2）
得：，
的斜率
又直线过三点，的方程为 ，即.
但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.