高二数学精品教案 随机变量（选修2-3）

随机变量及其分布
2.1 随机变量
1、概念
对于随机试验：
E
甲,乙两人同时向某目标射击一次
中靶情况
E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。
定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。
2、分类
1、离散型随机变量
2、非离散型随机变量
2.2 离散型随机变量
一.离散型随机变量的分布
设离散型随机变量可能取的值为:
取这些值的概率为
P(X=i)= pi ,i=1,2,... (2.1)
称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:
X


…

…
P


…

…
上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：

离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。
根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质
（1）pi0,i=1,2,...
（2）
常见的几种分布
1、单点分布
例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）
2、0-1分布
例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为
X
0
1
P
q
p
0则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。
3、几何分布
例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0 X
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
q2p
…
qk-1p
…

或记为
()=, k=1,2, ...
则称X服从参数为p的几何分布。
4、超几何分布
例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为
,m=0,1…,k,k=min(M,n)
则称X服从超几何分布。
(2） 二项分布
在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为
P( X= k )=,k=0,1,2,¼,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为 。
例2:P39.
例3:P40.
在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？
泊松分布
1．定义 若离散型随机变量X的分布为，k=0,1,2,¼ 其中常数l>0，则称X服从参数为l的泊松分布,记为。
2．泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布X～B(), n=1, 2, ...,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有

证略。
例5:P43.
例6:P44,自学。

2.3 随机变量的分布函数
一、概念
定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令
(2.11)
则称F（）为X的分布函数。
例1:（书上例2.8） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,= 0,1,其中0例: 设R.V. X的分布函数为

求X的概率分布。
二、性质
性质1 若1<2,则F(1)£F(2).即F()是的单调不减函数。
性质2 对任意的实数，均有
0£ F()£1 (2.15)
且
(2.16)
(2.17)
性质3 对任意的实数0,有
(2.18)
即F()在轴上处处右连续。
证明见P-44.
性质4 若F()在X=0处连续，则P(X=0)=0
性质5 P(a例: 设R.V.X的分布为

确定A ,且求P(-1<£2)
2.4 连续型随机变量
1、定义2.2
设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有
F()= (2.20)
则称X是连续型随机变量，称f()是X的概率密度或密度函数，简称密度。
二、图形
例如：正态分布
密度函数图形：
data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
分布函数图形：
data normal;
do x=-3 to 5 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
三、性质
性质1 f()0 (2.21)
性质2 (2.22)
性质3 P(a= (2.23)
性质4 在f()的连续点处，有
= (2.24)
性质5 在f()的连续点处，当>0,且很小时，有
P(几点说明：
1．由5可以看出f()值的大（小）反映R.V.X在邻域概率的大（小）。
2．连续型随机变量X取任一点0的概率为零。即：P(X=0)=0。
3．连续型随机变量X的密度函数为f(),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]上的概率都相等，即


同理，。
4．连续型R.V.X的F()是连续函数。但f()不一定是连续的。
例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度
确定常数K,并求P{X>0.1}
指数分布：
例：(第一版)设R.V.

(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(); (3)P。
例：(第一版) 已知随机变量

（1）确定A和B；（2）求；(3)求
二、均匀分布
例：设R.V.，称X在[,b]上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(a 定义：若随机变量X的概率密度为

则称X在[]上服从均匀分布，记为X～U[a,b],相应的分布函数为

一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为

则称X在D上服从均匀分布。
如果，则对于满足的任意的,有 = (2.32)
三、指数分布
若随机变量X的概率密度为
（2.33）
其中常数，则称X服从参数为l的指数分布，相应的分布函数为
(2.34)
例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的Dth内损坏的概率为，其中l是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略
四、正态分布
1、定义： 若随机变量X的概率密度为
, (2.35)
其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为
（2.36）
2、验证

3、作出的图形
，得驻点，
得，

作图SAS程序：
data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。
data normal;
retain _seed_ 0;
do _i_ = 1 to 1000;
z = 0 + 1 * rannor(_seed_);
output;
end;
drop _seed_ ;
run;
proc gplot data=normal;
plot z*_i_=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
4、性质：
（1）f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线
（2）为最大值，当x远离m时，f(x)®0
（3）当m固定而s变化时对图形的影响，s小
大，分布曲线在形成陡峭的高峰。
s大小，分布曲线在变成缓峰。
m=2, s=0.5, 1, 2
data normal;
do i=-2 to 6 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形：
data normal;
do i=-5 to 9 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));
z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926)));
z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
（4）当s固定而当m变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。
如图：s=1, m=0, 2
data normal;
do i=-3 to 5 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
分布函数图：
data normal;
do x=-5 to 10 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
3、标准正态分布与有关概率的计算
若,则称X服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为
(x)= (2.37)
Φ(x)= (2.38)

注意：Φ(0)=0.5
Φ(-x)=1-Φ(x)
一般，若，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。
引理(P55):若，则
证：
作变换,…….
学会查附表2：标准正态分布表。注意表中公式的正确形式为：
注：如果用SAS算出附表2，需要时间不到1秒钟。
data normal;
do z=0 to 4 by 0.01;
Prob=PROBNORM(z);
output;
end;
proc print noobs;
run;
这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用
即
(2.43)
对任意的实数1,2 (1<2)，利用(2.43)式可得
Φ() (2.44)
1-Φ() (2.45)
Φ()-Φ() (2.46)
比如：, m=1.5 s=2时：
全部概率值：
data normal;
do z=0 to 4 by 0.01;
Prob=PROBNORM((z-1.5)/2);
output;
end;
proc print noobs;
run;
P(X>0)=
data ;
Prob=1- PROBNORM((0-1.5)/2); Put prob=;
Run;
Prob=0.773372647
P(-1data ;
Prob= PROBNORM((2-1.5)/2)- PROBNORM((-1-1.5)/2); Put prob=;
Run;
Prob=0.493056552
例1： X服从N(1,4),求P(x£1.6) , P(04)
解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。
data ;
prob=probnorm((1.6-1)/2); put prob=;
prob=probnorm((1.6-1)/2)- probnorm((0-1)/2); put prob=;
prob=1-probnorm((4-1)/2)+probnorm((-4-1)/2); put prob=;
run;
P(x£1.6)=0.6179114222
P(0P(|x|>4)=0.0730168666
例3 P56 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少
解：
(1)
data ;
prob=probnorm((89-90)/0.5); put prob=;
run;
P(X<89)=0.0227501319
(2)要求0.99†P{X>80}
即 P{X<80}†0.01
P{(X-d)/0.5<(80-d)/0.5}†0.01
(80-d)/0.5†-2.326347874
data;
Z=probit(.010); put Z=;
run;
Z=-2.326347874
定义：设X~N(0, 1)，若满足条件
,
则称点为标准正态分布的上分位点。
书上57页图
例：
下分位数：
data;
Z1=probit(.001); put Z1=;
Z2=probit(.0025); put Z2=;
Z3=probit(.005); put Z3=;
Z4=probit(.010); put Z4=;
run;
Z1=-3.090232306 ()
Z2=-2.807033768 ()
Z3=-2.575829304 ()
Z4=-2.326347874 ()
上分位数：
data;
Z1=probit(1-.001); put Z1=;
Z2=probit(1-.0025); put Z2=;
Z3=probit(1-.005); put Z3=;
Z4=probit(1-.010); put Z4=;
run;
Z1=3.0902323062
Z2=2.8070337683
Z3=2.5758293035
Z4=2.326347874
本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：
若满足条件
,
则称点为随机变量的分位数。
单边的, 双边的，
注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。
SAS的两种计算公式：
data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039

data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039
也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。
Data;
q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;
run;
q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959
data;
q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;
q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;
q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;
run;
q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959
注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。
Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;
q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
run;
q1=1.644853627
q2=1.9599639845
q3=2.326347874
q3=2.5758293035
比如，
=0.95
等的结论也是常用的。几乎都成常识了。

以下例1---4为第一版内容。
例1： X服从N(1,4),求P(x£1.6) , P(14)
例2： 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少
例：（书上例2.14） 某市高校高等数学统考，假定考生成绩X～。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。
例3：（书上例2.15） 一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐标轴如书上图2-10。一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥，假定弹着点的坐标X～N.(1)求投掷一枚炸弹，命中此桥的概率p；(2)问独立重复投掷多少枚炸弹，才能使至少有一弹命中此桥的概率大于0.9。
例4：(书上例2.16) 甲,乙,丙三个工厂生产同一种产品且产量相等。它们的产品每件某种物质的含量（单位：mg）分别为，且, , .（1）今从三个厂的产品中任取一件，求这件产品某种物质的含量大于55mg的概率。（2）今从三个厂的产品中独立地任取两件，求这两件产品某种物质地含量都不大于55mg的概率。
2.5 随机变量函数的分布
1、若X是离散型随机变量


X


…
…

…
…
P


…

…
例1 P58，已知X分布列为
X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
求Y=(X-1)2的分布列
解：Y的所有可能取的值为0，1，4.
例1 (第一版) 已知X分布列为
X -2 –1 0 1 2
P 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6
求Y=(1/2)X2的分布列
解：Y的所有可能取的值为：0，1/2, 2
练习。。
二、X是连续型随机变量
1．当是单调函数
例2，P58页：
例3，P59
定理 若连续型随机变量X只在上取值，它的概率密度为，又是严格单调的可导函数，则是连续型随机变量，其概率密度为

其中是的反函数，是的值域。

例1 (第一版)， 第二版，P60例4， 设R.V.X~N(), 求的概率密度（是常数）
法一、用公式 ~
是单调函数，可直接用公式。
的反函数为，
~
,
可知 ~ 。
法二、直接法，见书P-57~58（第一版）。答案同上。
小结：正态分布R.V的线性函数仍是正态R.V。
例5，P61。。。
例2 （第一版） 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明： 在区间[0，1]上服从均匀分布。
法一、公式法；法二、直接法。
2、当是非单调函数 （第一版）
例1：X服从N(0,1)，求Y=X2的概率密度。
例2：已知连续型随机变量X的概率密度为
求的概率密度。
本章习题：
1，3，4，5，18，19，23，25，26，27，29，30.