高一下册数学直线的倾斜角与斜率

第三章 直线与方程
本章教材分析
直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形——直线.
本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.
本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.
直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.
本章教学时间约9课时，具体分配如下（仅供参考）：
3.1.1
倾斜角与斜率
约1课时
3.1.2
两直线平行与垂直的判定
约1课时
3.2.1
直线的点斜式方程
约1课时
3.2.2
直线的两点式方程
约1课时
3.2.3
直线的一般式方程
约1课时
3.3.1
两条直线的交点坐标
约1课时
3.3.2
两点间的距离
约1课时
3.3.3及3.3.4
点到直线的距离及两条平行线间的距离
约1课时
本章复习
约1课时
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一、教材分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.
本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）理解直线倾斜角的唯一性.
（3）理解直线斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
三、教学重点与难点
教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.
教学难点:斜率公式的推导.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.
图1
思路2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①怎样描述直线的倾斜程度呢？
②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？
图2
③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？
④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
⑤正切函数的定义域是什么？
⑥任何直线都有斜率么？
⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少?
活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.
②考虑正方向.
③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.
规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.
④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.
⑤教师介绍正切函数的相关知识.
⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率.
（倾斜角是90°的直线没有斜率）
⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出.
讨论结果:①用倾斜角.
②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背.
③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.
④有，常用的有坡度比.
⑤90°的正切值不存在.
⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=.
（三）应用示例
思路1
例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角;
而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角;
而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.
解:直线AB的斜率k1=＞0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角.
变式训练
已知A(1,3),B(0,2),求直线AB的斜率及倾斜角.
解:kAB=,
∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°,
∴直线AB的倾斜角为60°.
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l.
活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定.
解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=,所以x=y.
可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.
同理,可作直线b,c,l.
变式训练
1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.
活动:指导学生根据定义直接求解.
解：(1)∵tan0°=0，
∴倾斜角为0°的直线斜率为0.
(2)∵tan60°=，∴倾斜角为60°的直线斜率为.
(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在.
点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.
2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)
答案：D
思路2
例1 求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.
解：kAB==1，即tanα=-1，
又∵0°≤α＜180°，
∴α=135°.
∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.
点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角.
变式训练
求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.
（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；
（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).
解：（1）∵P1P2与x轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°.
（2）k=tanα==0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.
例2 已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上.
证明：由直线的斜率相同，可知直线AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两直线过公共点A，
所以直线AB与AC重合，因此A、B、C三点共线.
点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线.
变式训练
1.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共线，求实数m的值.
解：kAB==-1，kAC=，
∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC.∴=-1.∴m=.
2.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则+的值等于_____________.
答案：
例3 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求m的值及|AD|的长.
分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式.
解：D点的坐标为(-,)，
∴kAD==1.∴m=7.∴D点坐标为(-,).
∴|AD|=.
变式训练
过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线l的斜率和倾斜角.
答案：k=-1,倾斜角为.
（四）知能训练
课本本节练习1、２、３、４.
（五）拓展提升
已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.
答案：(-∞,)∪(-,+∞).
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;
（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；
（3）直线斜率的概念；
（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.
（七）作业
习题3.1 A组3、4、5.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、教材分析
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
二、教学目标
1．知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2．过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.
3．情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.
教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?
思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？
③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？
④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？
⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？
⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？
活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②数形结合容易得出结论.
③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.
④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
图1
充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,
∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.
⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.
讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.
③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.
④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.
⑤l1∥l2k1=k2.
⑥l1⊥l2k1k2=-1.
（三）应用示例
例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论.
解:直线BA的斜率kBA==0.5,
直线PQ的斜率kPQ==0.5,
因为kBA=kPQ.所以直线BA∥PQ.
变式训练
若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线，则m的值为( )
A. B.- C.-2 D.2
分析：kAB=kBC,,m=.
答案：A
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：AB边所在直线的斜率kAB=-,
CD边所在直线的斜率kCD=-,
BC边所在直线的斜率kBC=,
DA边所在直线的斜率kDA=.
因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
变式训练
直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2.
（1）a=_____________时，α1=150°；
（2）a=_____________时，l2⊥x轴；
（3）a=_____________时，l1∥l2；
（4）a=_____________时，l1、l2重合；
（5）a=_____________时，l1⊥l2.
答案：（1） （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5
（四）知能训练
习题3.1 A组6、7.
（五）拓展提升
问题：已知P（－3，2），Q（3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a的取值范围.（图2）
图2
解：直线l：ax+y+3=0是过定点A（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知PQ、AQ、AP、l的斜率分别为：kPQ=，kAQ=，kAP=，k1=-a.
若l与PQ延长线相交，由图,可知kPQ＜k1＜kAQ，解得-＜a＜-；
若l与PQ相交，则k1＞kAQ或k1＜kAP，解得a＜-或a＞；
若l与QP的延长线相交，则kPQ＞k1＞kAP，解得-＜a＜.
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.
2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.
3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.
4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.
（七）作业
习题3.1 A组4、5.