2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一、教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
二、教学目标：
1、知识与技能：
了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。
2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。
三、重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
四、学法指导
减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。
五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?
引导学生思考,相反向量有哪些性质?
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.
又b+=a,所以=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
图2
(2)三角形法则
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?
讨论结果:①=b-a.
②略.
（三）应用示例
如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.
图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则=a-b,=c-d.
变式训练
(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.=B.AD+=C.-AD=BDD.AD+=0
分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确.
答案:C
例2 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、吗?
图4
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,
同样,由向量的减法,知=-=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )
A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c
图5
解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若=a+b,=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图6
解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
=a+b,=-=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
例3 判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例4 若||=8,||=5,则||的取值范围是( )
A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)
解析:=-.
(1)当、同向时,||=8-5=3;
(2)当、反向时,||=8+5=13;
(3)当、不共线时,3<||<13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,
(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,
另一方面a+b=+=.
由于与是一对相反向量,
∴有+=0,
故有a+b+c=0.
(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0.
∴c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.
（五）作业