高中数学教案必修三：1.4 算法案例（1）


教学目标：
1． 理解不定方程的算法中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行
2． 理解不定方程的算法的方法与步骤．
3． 能根据算法语句与伪代码语句的知识设计完整的流程图并写出伪代码语句算法程序．
4． 使学生初步掌握不定方程的算法设计和列举法的基本思想．
教学方法：
1．通过讲解中国古代的一个有趣的故事的方法引入新知识，可以使学生容易接受，易于激发学生的求知欲．
2．教学中利用探索性教学法，可以加深学生对不定方程的算法的理解，有利于培养学生的理性思维和实践能力．
3．通过本节课的学习，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用．
教学过程：
一、问题情境
情境：韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．
韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行．
二、学生活动
1．同学们想一想，韩信是如何得出正确的人数的？
2．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”
3．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理．中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；
4．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”．在中国还流传着这么一首歌诀：
                      三人同行七十稀，
                      五树梅花廿一枝，
                      七子团圆月正半，
                      除百零五便得知．
　　它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止． 所得结果就是某数的最小正整数值．
用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：
        2×70＋3×21＋2×15＝233，
         233－105×2＝23，
即所求物品最少是23件．
三、建构教学
“孙子问题”相当于求关于的不定方程组的的正整数解；
设所求的数为，根据题意应该同时满足下列三个条件：
①被3除后余2，即；
②被5除后余3，即；
③被7除后余2，即；
用自然语言可以将算法写为：


如果且且则执行,否则执行;
输出
伪代码：

DO
Loop Until且且
Print
流程图为：
四、数学运用
例题　有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组三个连续的自然数．
伪代码：
思考：以下伪代码是否可行？
k1
a15k
While Mod(a＋1,17)≠0 or
Mod(a＋2,19)≠0
kk＋1
a15k
End While
Print a，a＋1，a＋2
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献；
2．实际问题的分析和解决问题过程；
3．算法的表示及语句的运用．