高中数学教案选修2-2《瞬时变化率――导数（3）》


教学目标：
1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；
3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法．
教学重点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．
教学难点：
对导数的几何意义理解．
教学过程：
一、复习回顾
1．曲线在某一点切线的斜率．
（当∆x无限趋向0时，kPQ无限趋近于点P处切线斜率）
2．瞬时速度．
v在t0的瞬时速度＝ 当t0时．
3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度．
v在t0的瞬时加速度＝ 当t0时．
二、建构数学
导数的定义．
函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈(a，b)，如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量△y＝f(x0＋△x)－f (x0)；比值就叫函数y＝f（x）在x0到（x0＋△x）之间的平均变化率，即．如果当时，，我们就说函数y＝f（x）在点x0处可导，并把A叫做函数y＝f（x）在点x0处的导数，记为，
三、数学运用
例1　求y＝x2＋2在点x＝1处的导数.
解　y＝－(12＋2)＝2x＋(x)2
＝＝2＋x
∴＝2＋x，当x0时，＝2．
变式训练：求y＝x2＋2在点x＝a处的导数.
解　y＝－(a2＋2)＝2ax＋(x)2
＝＝2a＋x
∴＝2a＋x，当x0时，＝2a．
小结　求函数y＝f(x)在某一点处的导数的一般步骤：
（1）求增量　y＝f(x0＋x)－f(x0)；
（2）算比值　＝；
（3）求＝，在x0时．
四、建构数学
导函数．
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数f(x)称为的导函数，记作f (x)，即f (x0)＝y ＝＝，当x0时的值．
五、数学运用
例2　已知y＝，求y ，并求出函数在x＝2处的切线方程．
解　，
，当x0时的值．
当x＝2时切线的斜率为，
所以在x＝2切线方程为即
切线方程为．
练习：
课本P14 -1，2，3．
六、回顾小结
问题1　本节课你学到了什么？
（1）了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
（2）会求简单函数在某一点的导数；会求简单函数在某个区间上的导函数 ；
（3）通过函数图象直观地了解导数的几何意义．
问题2　本节课体现了哪些数学思想方法？
（1）形结合的思想方法．
（2）极限的思想方法．