高一下册数学2.1　合情推理与演绎推理（三）

2.1　合情推理与演绎推理（三）
【学情分析】：
合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．
（2）过程与方法：
体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．
（3）情感态度与价值观：
培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．
【教学重点】：
正确地运用演绎推理进行简单的推理．
【教学难点】：
正确运用“三段论”证明问题．
【教学过程设计】：
教学环节
教 学 活 动
设计意图
一、复习：
合情推理
归纳推理：从特殊到一般
类比推理：从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．
复习旧知识
二、
问题情境
观察与思考：（学生活动）
1．所有的金属都能导电，
铜是金属，
所以，铜能够导电．
2．一切奇数都不能被2整除，
（2100+1）是奇数，
所以，（2100+1）不能被2整除．
3．三角函数都是周期函数，
tan是三角函数，
所以，tan是周期函数．
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？
创设问题情景，引入新知
三、
学生活动
1．所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属， ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2．一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
（2100+1）是奇数，←――小前提
所以，（2100+1）不能被2整除。 ←―――结论
3．三角函数都是周期函数， ←——大前提
tan是三角函数， ←――小前提
所以，tan是周期函数。←――结论
学生探索，
发现问题，
总结特征
四、
建构数学——概念形成
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．
构建新知，
概念形成
注：
1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）
2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
3．用集合的观点来理解“三段论”推理：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．
巩固新知，
加强认识
五、
数学运用
例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式．
解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
而冥王星是太阳系的大行星， （小前提）
因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论）
（5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提）
而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角， （小前提）
∴∠A+∠B＝180°． （结论）
例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E是垂足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等．
解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提
所以△ABD是直角三角形————结论．
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提
而DM是直角三角形ABD斜边AB上的中线，——小前提
所以DM=AB．————结论
同理EM=AB．
所以DM=EM.
注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.
思考：分析下面的推理：
因为指数函数是增函数，————大前提
而是指数函数，————小前提
所以是增函数. ————结论
（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？
提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数（0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的.
例3、证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
1．运用新知；
2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式．
通过错例分析，加深理解
六、
小结与反思
1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式为：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
2．合情推理与演绎推理的区别和联系：
（1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；
（2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正确性．
对比分析，
提高认识
【练习与测试】：
1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．
因为指数函数是减函数，而是指数函数，所以是减函数.
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
3．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误
4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．
∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，
又∵直线平面，直线平面，直线平面，且∥，
∴∥.
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误
5．函数为奇函数，，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．5
6．下面给出一段证明：
∵直线平面，
又∵∥，
∴∥.
这段证明的大前提是 ．
7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．
∵ ．（大前提）
又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A． （小前提）
∴ ．（结论）
8．用“三段论”证明：通项公式为的数列是等差数列.
9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．
10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写．
11．证明函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：．
参考答案
1～5：BADAC
6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面
7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面PAB
8．证：如果数列满足：（常数），那么数列是等差数列 （大前提）
∵数列中有（常数）， （小前提）
∴通项公式为的数列是等差数列． （结论）
9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提）
又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE， （小前提）
∴四边形ABED是平行四边形． （结论）
∵平行四边形的对边相等． （大前提）
又∵四边形ABED是平行四边形， （小前提）
∴AB＝DE． （结论）
∵两直线平行，同位角相等． （大前提）
又∵AB∥DE， （小前提）
∴∠DEC＝∠B． （结论）
∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提）
又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提）
∴∠DEC＝∠C． （结论）
∵三角形中等角对等边． （大前提）
又∵△DEC中有∠DEC＝∠C， （小前提）
∴DE＝DC． （结论）
∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提）
又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提）
∴AB=DC． （结论）
10．证：函数若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有
＜，则在该给定区间内是增函数． （大前提）
任取x1、x2∈（－∞，1］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2）
又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即x1+x2－2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即f(x1) ＜f(x2) ． （小前提）
∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数． （结论）
11．证：任取x1、x2∈［1，+∞］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x1－x2）（2－（x1+x2））
又∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1+x2＞2，即2－（x1+x2）＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＞0，即f(x1)＞f(x2) ．
∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0,