2.5 平面向量应用举例
一、教学分析
1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:
则向量方法的流程图可以简单地表述为:
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.
2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:
综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;
解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;
向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;
分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.
前三种方法都是中学数学中出现的内容.
有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.
二、教学目标
1．知识与技能：
通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2．过程与方法：
明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.
三、重点难点
教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
图1
①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?
③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？
活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.
图2
证明:方法一:如图2.
作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.
∴AD=BC,AF=BE.由于AC
AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.
BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
图3
方法二:如图3.
以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.
设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).
∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,
|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.
∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).
用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.
方法三:设=a,=b,则=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.
∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①
同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②
观察①②两式的特点,我们发现,①+②得
||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
讨论结果:①能.
②能想出至少三种证明方法.
③略.
（三）应用示例
图4
例1 如图4,ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线,所以只需判断与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.
解:如图4,
设=a,=b,=r,=t,则=a+b.
由于与共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.
又因为=-=a-b,
与共线,
所以我们设=m=m(a-b).
因为,
所以r=b+m(a-b).
因此n(a+b)=b+m(a-b),
即(n-m)a+(n+)b=0.
由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须
解得n=m=.
所以=,
同理=.
于是=.
所以AR=RT=TC.
点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.
变式训练
图5
如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.
证明:设BE、CF相交于H,并设=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
因为⊥,⊥,
所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,
即(h-b)·c=(h-c)·b.
化简得h·(c-b)=0.
所以⊥.
所以AH与AD共线,
即AD、BE、CF相交于一点H.
图6
例2 如图6,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.
活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？
教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.
解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),
=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).
因为BB′、CC′都是中线,
所以=(+)=［(2c,0)+(c,a)］=(),
同理=().
因为BB′⊥CC′,
所以=0,a2=9c2.
所以cosA=.
点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.
变式训练
图7
(2004湖北高考) 如图7,在Rt△ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:的夹角θ取何值时,的值最大?并求出这个最大值.
解:方法一,如图7.
∵⊥,∴·=0.
∵,
∴
=
=-a2-+·=-a2+·(-)
=-a2+·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,最大,其最大值为0.
图8
方法二:如图8.
以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为(x,y),
则Q(-x,-y).
∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).
∴=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵cosθ=
∴cx-by=a2cosθ.
∴=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时, 最大,其最大值为0.
（四）知能训练
图9
1.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.
求证:∠ABC=90°.
证明:如图9.
设=a,=b,
则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
因为·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以⊥.
由此,得∠ABC=90°.
点评:充分利用圆的特性,设出向量.
2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.
图10
证明:如图10.
建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).
在任一时刻t1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有=λ,由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为().当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(),故对任一t1∈[0,1],△DEF的重心不变.
点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t1的△DEF的重心相同即可.
（五）课堂小结
1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.
2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.
（六）作业