高中数学教案选修2-2《复数的几何意义》


教学目标：
1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几何意义．
教学重点：
复数的几何意义,复数加减法的几何意义．
教学难点：
复数加减法的几何意义．
教学过程：
一 、问题情境
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？
二、学生活动
问题1　任何一个复数a＋bi都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？
问题2　平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？
问题3　任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？
问题4　复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗？两个复数差的模有什么几何意义？
三、建构数学
1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋bi的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋bi，这就是复数的几何意义．
2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量来表示复数z＝a＋bi，这也是复数的几何意义．
6．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的．
四、数学应用
例1　在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
练习　课本P123练习第3，4题（口答）．
思考
1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系？
2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？
3．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的__________条件．
4．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件．
例2　已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．
例3　已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．
思考　任意两个复数都可以比较大小吗？
例4　设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．
变式：课本P124习题3．3第6题．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．复数的几何意义．
2．复数加减法的几何意义．
3．数形结合的思想方法．