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单元质量评估(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.
2.(2015·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( )
A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0
C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.
【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
【解析】选C.在A中,函数无零点,在B和D中,函数有零点,但它们在零点两侧的函数值的符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以C中的函数能用二分法求其零点.
3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是 ( )
A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内
B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内
C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内
D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内
【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.
4.(2015·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是 ( )
A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点
B.函数f(x)在(3,5)内无零点
C.函数f(x)在(2,5)内有零点
D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.
5.(2015·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内
( )
A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,
f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.
6.(2015·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是 ( )
A.x2+x-3=0 B.x+1=0
C.x+lnx=0 D.x2-lgx=0
【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.
【解析】选C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:
7.(2015·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是 ( )
A. B.(-2,-1)
C.(1,2) D.
【解题指南】本题如果注意到定义域可排除C,D选项,用f(a)·f(b)<0去验证B选项即可得到答案.
【解析】选B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.
【补偿训练】在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.将选项代入f(x)=ex+4x-3.
检验ff=(-2)(-1)<0,
且f(x)=ex+4x-3的图象在上连续不断,故选C.
8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是 ( )
A.10% B.15% C.18% D.20%
【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.
9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是 ( )
【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.
10.若方程ax-x-a=0有两个解,则a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.∅
【解析】选A.画出y1=ax,y2=x+a的图象知a>1时成立.
【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则 ( )
A.k=0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0
【解析】选D.在同一平面直角坐标系中画出y1=和y2=-k的图象:
由图象知,-k>0即k<0.
11.(2015·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是 ( )
A.f=4x-1 B.f=(x-1)2
C.f=ex-1 D.f=ln
【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=ex-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.
12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是
( )
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是 .
【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5).
答案:(2,2.5)
14.已知函数f(x)=
若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是 .
【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).
答案:[0,1)∪(2,+∞)
【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是 .
【解析】函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,等价于方程k=|7x-1|有两个不等实根,
即函数y=|7x-1|的图象与y=k的图象有两个公共点,结合图象知0
15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .
【解题指南】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点所在的范围,然后结合零点的存在性定理来进行判断.
【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.
答案:2
16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是 .
【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.
答案:2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2015·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
-3.51
1.02
2.37
1.56
-0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.
18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.
(1)求f(x).
(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.
【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,
f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].
19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727)
【解析】设函数f(x)=2x+x-8,
则f(2)=22+2-8=-2<0,
f(3)=23+3-8=3>0,
所以f(2)·f(3)<0,
说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解.
用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.157
(2,2.5)
2.25
-0.993
(2.25,2.5)
2.375
-0.438
(2.375,2.5)
2.437 5
-0.145 5
由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),
x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).
因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,
所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.
20.(12分)(2015·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.
【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量.
【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意知:c=3,-=2.
设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,
则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,
所以-=10,所以16-=10,
所以a=1.代入-=2中,得b=-4.
所以f(x)=x2-4x+3.
21.(12分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.
【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),
=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;
所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,
故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),
因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.
22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间
公布票价
学生票
上车站
下车站
一等座
二等座
二等座
A
B
81(元)
68(元)
51(元)
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:
解得则2m=20,
答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,
①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:
学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:
y=51×180+68(x-180)+81(210-x),
即y=-13x+13950(180≤x<210).
②当0
所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:
y=51x+81(210-x),
即y=-30x+17010(0
当180≤x<210时,y=-13x+13950,
由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.
当0
所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.
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