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课时提升作业 五
综 合 法
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·三明高二检测)在△ABC中,若sinAsinB
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
【解析】选C.因为在△ABC中,sinAsinB
所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.
2.(2016·济宁高二检测)命题“对任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了( )
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法 D.演绎法
【解析】选B.证明过程是由已知条件入手利用有关公式进行证明的,属于综合法,即证明过程应用了综合法.
3.(2016·德州高二检测)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 ( )
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】选B,由题意知x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0.
解得-2
A.8 B.4 C.1 D.
【解析】选B.因为是3a与3b的等比中项,
所以3a·3b=3,即a+b=1.
又a>0,b>0,
所以≤=,得ab≤.
故+==≥=4.
即+的最小值为4.
5.(2016·阜阳高二检测)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是 ( )
A.1-≤m≤1+ B.1-≤m≤2
C.-2≤m≤2 D.-2≤m≤1-
【解析】选B.因为f(x)为“局部奇函数”,所以存在实数x满足f(-x)=-f(x),即
4-x-2m2-x+m2-3=-4x+2m2x-m2+3,
令t=2x(t>0),则+t2-2m+2m2-6=0,
-2m+2m2-8=0在t∈(0,+∞)上有解,
再令h=+t(h≥2),则g(h)=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2,+∞)上有解,函数关于h的对称轴为h=m,①当m≥2时,g(h)≥g(m),所以g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0,解得2≤m≤2;②当m<2时,则g(2)=4-4m+2m2-8≤0,即m2-2m-2≤0,解得1-≤m<2.综合①②,可知1-≤m≤2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·江阳高二检测)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x).则f(9)的值为________.
【解析】因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4.
所以f(9)=f(1)=-f(-1)=-f(1),
所以f(1)=0即f(9)=0.
答案:0
7.(2016·石家庄高二检测)若lgx+lgy=2lg(x-2y),则lo=________.
【解析】由题设条件知
即x2-5xy+4y2=0,
解得=1或=4,
因为x>2y,所以=4,
即log=lo4=4.
答案:4
8.(2016·烟台高二检测)设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.
则++的最小值为________.
【解题指南】应用a+b+c=1代换应用基本不等式.
【解析】因为a>0,b>0,c>0且a+b+c=1
所以++=++
=3+++
≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c时等号成立.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知x>0, y>0,x+y=1,
求证:≥9.
【证明】因为x+y=1,
所以=
==5+2.
又因为x>0,y>0,所以>0,>0.
所以+≥2,
当且仅当=,即x=y=时取等号.
则有≥5+2×2=9成立.
【一题多解】因为x>0,y>0,1=x+y≥2,当且仅当x=y=时等号成立,
所以xy≤.
则有=1+++=1++=1+≥1+8=9成立.
10.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=
60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.
(1)证明:CD⊥AE.
(2)证明:PD⊥平面ABE.
【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.
又因为AE⊂平面PAC,
所以CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得AC=PA.
因为点E是PC的中点,所以AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD.
又因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD.
又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE=A,
所以PD⊥平面ABE.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·济南高二检测)在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有anan+1an+2=K(K为常数),那么这个数列叫做等积数列,K叫做这个数列的公积,已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积K=8则a1+a2+a3+……+a12= ( )
A.24 B.28 C.32 D.36
【解析】选B.由已知anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=8,
两式相除得=1即an+3=an,
即此数列是一个以3为周期的数列.
由a1a2a3=8得a3=4,所以a1+a2+a3=7,
所以a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×7=28.
2.(2016·大连高二检测)在非等边三角形ABC中,∠A为钝角,则三边a,b,c满足的条件是 ( )
A.b2+c2≥a2 B.b2+c2>a2
C.b2+c2≤a2 D.b2+c2
【解析】选D.由余弦定理得cosA=.因为A为钝角,所以cosA<0,即b2+c2
3.(2016·武昌高二检测)已知函数f(x)=2x,a,b∈(0,+∞).A=f, B=f,C=f则A,B,C从小到大排列为________.
【解析】因为a>0,b>0,所以≥,
所以≤1,
所以≤,
故≤≤,
又f(x)=2x为增函数,
所以f≤f()≤f,
即C≤B≤A,当且仅当a=b=c时取等号.
答案:C≤B≤A
4.(2016·郑州高二检测)若不等式(-1)na<2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围为________.
【解析】当n为偶数时,a<2-.
而2-≥2-=.故a<,①
当n为奇数时,a>-2-.
而-2-<-2,故a≥-2,②
由①,②得-2≤a<.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤.
【解题指南】不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a+b+c=1,将已知平方可得a,b,c两两乘积及a,b,c的平方和的形式,然后可用基本不等式证明.
【证明】因为a+b+c=1,
所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
又因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
所以1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).
所以ab+bc+ca≤.
6.(2014·山东高考)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,点E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF.
(2)求证:BE⊥平面PAC.
【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,来证明线面平行.
(2)本题考查了线面垂直的判定,在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可.
【证明】(1)连接AC交BE于点O,连接OF,CE,不妨设AB=BC=1,则AD=2,
因为AB=BC=AD,AD∥BC,E为AD的中点,所以四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点,
因为O,F分别为AC,PC中点,所以OF∥AP,
又因为OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
(2)因为AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,
所以AP⊥CD,
因为BC∥ED,BC=ED,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,所以BE⊥PA,
又因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC,
又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
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