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课时提升作业(八)
数系的扩充和复数的概念
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为 ( )
A.1 B.±1 C.-1 D.-2
【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.
【解析】选A.由x2-1=0得,x=±1,
当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,
当x=1时,满足,故选A.
【一题多解】本题还可用以下方法求解:
选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;
x=-1时,原复数为0,不满足,
当x=-2时,原复数为3,不满足.故选A.
2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由复数相等的条件得解得
【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.
【解析】因为x，y是实数，所以
解得
3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+isinθ，z1=z2，则θ等于( )
A.kπ(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.
【解析】选D.由z1=z2，可知
所以cosθ=，sinθ=.
所以θ=+2kπ，k∈Z，故选D.
【补偿训练】1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是 .
【解析】因为z1=z2，所以
所以λ=4-cosθ.
又因为-1≤cosθ≤1.
所以3≤4-cosθ≤5.
所以λ∈.
答案：
2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2015i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.
【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得
4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为
( )
A.1 B.3 C.-3 D.9
【解析】选D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.
5.下列说法正确的是( )
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.若a，b∈R且a>b，则ai>bi
C.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0
D.当z∈C时，z2≥0
【解析】选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi∈R⇔故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为 .
【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,
所以解得a=2.
答案:2
【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.
7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2= .
【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),
所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.
答案:5
8.给出下列说法:
①复数由实数、虚数、纯虚数构成;
②满足x2=-1的数x只有i;
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;
④复数m+ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为 .
【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.
答案:1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.
(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.
【解析】(1)若z是实数,
则m2+3m-10=0,
解得m=2或m=-5.
(2)若z是虚数,
则m2+3m-10≠0,
解得m≠2且m≠-5.
(3)若z是纯虚数,则解得m=3.
10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，求实数m的值.
【解题指南】通过M∩N≠∅可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.
【解析】因为M∩N≠∅，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或
(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，
由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得
解得m=-2.
由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得
解得m=-3.
所以m的值为-2或-3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为 ( )
A.-1 B.-1或4 C.6 D.6或-1
【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.
【解析】选A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.
所以所以m=-1,故选A.
2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有 ( )
A.a≠0 B.a≠2
C.a≠-1且a≠2 D.a=-1
【解析】选D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k= .
【解析】因为z<0,所以z∈R,
故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,
所以k=2或k=3,但k=3时,z=0,故k=2.
答案:2
【补偿训练】若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是 .
【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.
答案：-2
4.复数z=cos+sini,且θ∈,若z是实数,则θ的值为 ;若z为纯虚数,则θ的值为 .
【解析】z=cos+sini=-sinθ+icosθ,
当z是实数时,cosθ=0,
因为θ∈,所以θ=±;
当z为纯虚数时
又θ∈,所以θ=0.
答案:± 0
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·天津高二检测)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
【解题指南】根据复数z为实数、虚数、纯虚数的条件,分别求出相应的a的值.
【解析】(1)当z为实数时,
则有所以
所以a=6,即a=6时,z为实数.
(2)当z为虚数时,
则有a2-5a-6≠0且有意义,
所以a≠-1且a≠6且a≠±1,
所以a≠±1且a≠6.
所以当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.
(3)当z为纯虚数时,有
所以
所以不存在实数a使z为纯虚数.
【误区警示】解答本题注意使式子有意义的条件限制,防止在(1)(2)问解答中因忽视a≠±1而导致错误.
6.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1
当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2.
当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4,
所以当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1
【解析】z1>z2或z1
有
由①②两个式子解得m=0，不能满足最后一个式子，所以使z1>z2的m的值的集合为空集.
由上面可知，当m=0时，m2+1<4m+2，
所以使z1