高中数学（人教版必修2）配套练习 第二章章末检测

章末检测
一、选择题
1．下列推理错误的是 (　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于 (　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．下列命题正确的是 (　　)
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则 (　　)
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是 (　　)
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 (　　)
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有 (　　)
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
　　
　　　 8题图　　　　　　　9题图
9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是 (　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 (　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
　　
　　　 10题图　　　　　　　11题图
11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 (　　)
A. B. C. D.
12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 (　　)
A．2 B. C. D．1
二、填空题
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
　　
　 　　15题图　　　　　　16题图
16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
三、解答题
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面
ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
答案
1．C　2.D 3．C　4．B　5．D　6．D　7．A　8．B　9.A　10．D　11．D　12．D　
13．9
14．④
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
16．a>6
17．解　直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.
∴MN⊄平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.
∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，
∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形．
∴MN∥BO1.
又∵BO1⊂平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
18．证明　如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.
∵BE∥AF，
∴＝，
由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB.
∴＝.
∴＝，
∴MN∥PC，又PC⊂平面BCE.
∴MN∥平面BCE.
19．解　(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD＝＝2，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.
(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.
20．(1)证明　连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，
∴PA∥面BDE.
(2)证明　∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，
∴BD⊥面PAC.
又∵BD⊂面BDE，
∴面PAC⊥面BDE.
(3)解　取OC中点F，连接EF.
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，
∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.
21．(1)证明　因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF.
因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，
＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED.
(2)解　在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.