学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．① B．①④ C．②③ D．③④
【解析】 因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．
【答案】 A
2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
【解析】 选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
【答案】 C
3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面( )
【导学号：09960046】
A．只有一个 B．可作两个
C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个
【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.
【答案】 D
4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
【解析】 如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．
(1) (2)
【答案】 B
5．如图217，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )
图217
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
【解析】 根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．如图218，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试根据图形填空：
图218
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
7．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
【解析】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
【答案】 1或2或3
三、解答题
8．如图219所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.
【导学号：09960047】
图219
【证明】 ∵EF∩GH＝P，
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
∴P∈平面ABD∩平面CBD，
∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上．
9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一 ∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2⊂α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3⊂α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
法二 ∵l1∩l2＝A，
∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
[自我挑战]
10．下列说法中正确的是( )
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【解析】
经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.
【答案】 D
11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2110.
(1)求证：D、B、E、F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
图2110
【导学号：09960048】
【解】
(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．
(2)由于AA1∥CC1，
所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．
P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.
又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.
又因为A1C⊂β，
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．
连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.