(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－1)及(0,1)
B．(－1,0)及(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为( )
A．a> B．a≥
C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0
5．函数y＝x2－4x＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是( )
A．f(5)，f(0) B．f(2)，f(0)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(2)
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 010x1＋
log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为( )
A．－log2 0102 009 B．－1
C．(log2 0102 009)－1 D．1
7．方程－x3＋x2＋x－2＝0的根的分布情况是( )
A．一个根，在（－∞，－）内
B．两个根，分别在（－∞，－）、(0，＋∞)内
C．三个根，分别在（－∞，－）、（－，0）、(1，＋∞)内
D．三个根，分别在（－∞，－）、(0,1)、(1，＋∞)内
8．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
9．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )
A.π B.π C.π D.π
10. 已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
11．函数f(x)＝ln x－x2的极值情况为( )
A．无极值 B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值 D．不确定
12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
14．f′(x)是f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是________．
15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为
________________________________________________________________________．
16．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)当x∈（0，）时，证明：tan x>x.
18．(12分)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)
19.(12分)已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．
20．(12分)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？
21.(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
第三章 导数及其应用(A) 答案
1．B [∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.
f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.
∴M(－1，－3)．]
2．A [y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]
3．D [f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.]
4．C [f′(x)＝3ax2－2x＋1，
函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，
等价于f′(x)＝0有两个不等实根，
即
解得a<且a≠0.]
5．D [y′＝2(x－2)．x＝2时，y′＝0；x<2时，y′<0；x>2时，y′>0.∴x＝2是极小值点，f(2)＝－3；又f(0)＝1，f(5)＝6，故f(5)是最大值，f(2)是最小值．]
6．B [∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009
＝log2 010(x1·x2·…·x2009)
＝log2 010(··…·)＝log2 010
＝－1.]
7．A [令f(x)＝－x3＋x2＋x－2，则f′(x)＝－3x2＋2x＋1，令－3x2＋2x＋1＝0，
得x＝1，或x＝－，故函数f(x)在x＝1和x＝－处分别取得极大值f(1)＝－1和极小值f＝－，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在内．]
8．A
9．A [设圆柱横截面圆的半径为R，圆柱的高为h，则2R＋h＝2.
∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，
∴V′＝2πR(2－3R)＝0.
令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝.
经检验知，R＝时，圆柱体积最大，此时h＝，
Vmax＝π·×＝π.]
10．A [∵(－∞，－2)时，f′(x)<0，
∴f(x)为减函数；
同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]
11．C [因为f(x)＝ln x－x2，所以f′(x)＝－2x，
令f′(x)＝0得x＝ (x＝－舍去)．
当0
12．B [y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]
13．a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a≥3x2，
x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
14．3
解析 ∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.
15．(－2,15)
解析 设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知：
y′|x＝x0＝3x－10＝2，∴x＝4.
又∵P点在第二象限内，∴x0＝－2，∴y0＝15.
∴P点的坐标为(－2,15)．
16．21
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴⇒.
∴a－b＝－3＋24＝21.
17．证明 构造函数f(x)＝tan x－x，判断f(x)在上的单调性．
设f(x)＝tan x－x，x∈.
∴f′(x)＝′－1＝－1
＝－1＝＝tan2x>0.
∴f(x)在上为增函数．
又∵f(x)＝tan x－x在x＝0处可导且f(0)＝0，
∴当x∈时，f(x)>f(0)恒成立，
即tan x－x>0.∴tan x>x.
18．解 因为＝，且AM＝30，AN＝20.
所以ND＝·AN＝，
得AD＝AN－ND＝20－.
仓库的库容V(x)＝(20－)·x·x
＝－＋20x2(0
得x＝20或x＝0(舍去)．
当x∈(0,20)时，V′(x)>0；
当x∈(20,30)时，V′(x)<0.
所以当x＝20时，V(x)有极大值也是最大值．
即AB的长度为20米时仓库的库容最大．
19．解 (1)因为f′(x)＝2x＋1，所以f′(1)＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，
即y＝3x－3.
设直线l2过曲线上点B(b，b2＋b－2)，
因为f′(b)＝2b＋1，
所以直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
又l1⊥l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－，
所以直线l2的方程为y＝－x－.
即3x＋9y＋22＝0.
(2)解方程组，可得.
因为直线l1、l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)、，
所以所求三角形的面积为
S＝××＝.
20．解 由V＝πr2h，得h＝.
设盖的单位面积造价为a，
则储油罐的造价M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2
＝5aπr2＋，
M′＝10aπr－，令M′＝0，解得r＝，
∴经验证，当r＝时，函数取得极小值，也是最小值，此时，
h＝＝.
∴当＝＝时，储油罐的造价最省．
21．解 f′(x)＝3ax2－b.
(1)由题意得，
解得，
故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，
＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如右图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－
即y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若0
(－，0)
0
(0，)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
当x∈[－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得－5
x
(－，
0)
0
(0，)
(，)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当x∈[－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得