高中数学教案选修2-2《直接证明》


教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．
2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点：
1．合法的证明过程和应用．
2．分析法的证明过程和应用．
教学过程：
一、预习
1．问题　如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB＝CD，BC＝DA．
证明 连接AC，
因为四边形ABCD是平行形四边形，
所以，
故　　∠1＝∠2，∠3＝∠4．
因为　AC＝CA，
所以　△ABC≌△CDA，
故　　AB＝CD，BC＝DA．
思考　以上证明方法有什么特点？
上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．
二、新课
1．定义．
直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．
2．直接证明的一般形式．
思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ？
证法1 对于正数a，b，有
，
要证：，
只要证：，
只要证：，
只要证：，
因为最后一个不等式成立，故结论成立．
上述两种证法有什么异同？
相同：都是直接证明．
不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．
证法2　从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．
综合法和分析法的推证过程如下：
例1　如图，已知AB，CD交于点O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，
求证：CE＝DF．
证法一：（综合法）
因为　△ACO≌△BDO，
所以　CO＝DO， AO＝BO，
因为　AE＝BF（已知），
所以　EO＝FO，
所以　∠EOC＝∠FOD（对顶角相等），
所以　△EOC≌△FOD，
所以　EC＝FD．
证法二：（分析法）
证 （分析法）要证明CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD
为此只需证明，
为了证明　CO＝DO，
只需　△ACO≌△BDO，
为了证明　EO＝FO，
只需证明　AO＝BO（因为已知AE＝BF ），
也只需　△ACO≌△BDO（已知），
因为　∠EOC与∠FOD是对顶角，所以它们相等，
从而　△EOC≌△FOD成立，因此命题成立．
三、练习
1．若a＞0，b＞0，求证：．
2．若│a│＜1，│b│＜1，求证：．
3．△ABC三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．
四、回顾小结
分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述．
通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
五、作业
课本P87第1，2，3，4题．