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  • 高二数学精品教案 离散型随机变量及其分布律(选修2-3)

    2021-02-08 高二下册数学人教版

         概率与统计     课程教案
    授课题目(教学章、节或主题):第二章 第二节离散型随机变量及其分布律
    教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次):
    要求学生理解随机变量的概念,理解随机变量分布函数的概念
    要求学生理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1
    分布、二项分布、泊松分布及其应用
    教学重点及难点:
    随机变量分布函数的概念及性质,计算与离散随机变量有关的事件的概率。
    课时安排:3课时
    授课方式:理论课
    教学基本内容:
    2.2  离散型随机变量及其分布律
       若随机变量X只可能取有限个或可列个值,称这种随机变量为离散型随机变量(discrete random variable).
       定义2.3  设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,…,xn,且X取这些值的概率为:P(Xk = xk) = pk  (k = 1,2,…,n,…),则称上述一系列等式为随机变量X的概率分布(或分布律
       为了直观起见,有时将X的分布律用如下表格表示:
    X
    x1
    x2

    xk

    p
    p1
    p2

    pk

       由概率的定义知,离散型随机变量X的概率分布具有以下两个性质:
       (1) pk ³ 0,(k = 1,2,…) (非负性)
       (2) (归一性)
       这里当X取有限个值n时,记号为,当X取无限可列个值时,记号为.
       例1中X的分布率为
    X
    0
    1
    2
    3
    P
       例2  P27 例1
       简介离散型随机变量的线条图和概率直方图.(P28)
       下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布(简称分布)。
    1.n重伯努利实验、二项分布
       设实验E只有两个可能的结果:成功和失败,或记为A和,则称E为伯努利(Bernoulli)实验。将伯努利实验独立重复地进行n次,称为n重伯努利实验。
       设一次伯努利实验中,A发生的概率为p(0<p<1),又设X表示n重伯努利实验中A发生的次数,那么,X所有可能取的值为0,1,2,…,n,且
    ,(k = 0,1,2,…,n)。
    易知:
       (1)
       (2)
       所以,,(k = 0,1,2,…,n)是X的分布律。

       定义2.4  如果随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,n,它的分布律为,(k = 0,1,2,…,n),其中0 < p < 1为常数,则称X服从参数为n,p的二项分布(the Binomial Distribution),记为X~B(n,p)。
       二项分布是一种常用的离散型分布,例如,
       检查10个产品,不合格产品的个数,其中p为不合格率;
       调查50个人,患色盲的人数,其中p为色盲率;
       射击4次,射中的次数,其中p射中率;等等。
       当n = 1时,,k=0,1。
    或写成
    X
    0
    1
    pk
    1-p
    p
    此时称,X服从参数为p的0-1分布(伯努利分布)。
       例3  P30  例2
       
    2 泊松分布(Poisson distribution)
       如果随机变量的分布律为

    其中是常数,则称服从参数为的泊松分布,记为.
       泊松分布在各领域中有着广泛的应用, 它常与单位时间(单位面积\单位产品等)上的计数过程相联系,例如,
       某单位时间内电话机接到的呼唤次数;
       某单位时间内候车的乘客数;
       放射性物质在某单位时间内放射的粒子数;
       某页书上的印刷错误的个数;
       1平方米内,玻璃上的气泡数等等都可以用泊松分布来描述。

       例5 某商店出售某种商品。根据经验,此商品的月销售量服从的泊松分布。问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以99%的概率满足顾客要求?
       Solution  设月初库存件,依题意
    那么

       查附表3,可知最小应是8,即月初进货时要库存8件此种商品,才能以99%的概率满足顾客要求。

    3 几何分布(Geometry distribution)(机动)
       从一批次品率为()的产品中逐个地随机抽取产品进行检验,验后放回再抽取下一件,直到抽到次品为止。设检验的次数为,则可能取的值为1,2,3,…, 其概率分布为:

    称这种概率分布为几何分布。
    4 超几何分布(Super geometry distribution)(机动)
       设一批产品共有个,其中有个次品,现从中任取个(),则这个产品中所含的次品数是一个离散型随机变量,所有可能的取值为0,1,2,…, , ( 其中),其概率分布为:
    (=0,1,2,…, ),
    称之为超几何分布。
    参考书目:
    1.吴赣昌,大学数学立体化教材:概率论与数理统计(经济类),中国人民大学出版社,2006年3月。
    2.盛 骤,谢式千等,概率论与数理统计(第三版),高等教育出版社,2003年2月。
    作业和思考题:
       作业:P22 2-5
       思考题:
    课后小结:

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