高二下册数学1.6微积分基本定理第2课时

1.6.2微积分基本定理
【学情分析】：
在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系;
（2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系；
（3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。
【教学重点】：
（1）运用基本定理求定积分
（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学难点】：
（1）求函数的一个原函数
（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学突破点】：
合理利用复合函数的求导法则来求原函数
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
提
出
问
题
师：上一节课，我们学习微积分基本定理（投影微积分基本定理），并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分．下面我们看看试试计算这些定积分，看看你能发现什么结论？
生：计算，讨论．
例题1：计算下列定积分：
（1）；（2）
解：（1）∵
∴
（2）∵时，
∴
师（总结）：运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足的函数F(x)．
（课本P60）例题2：计算下列定积分：
（1）；（2）；（3）
解：∵
∴，
，
温故而知新
(2)题主要是学生容易忽视定义域，误为
导致无法计算．
二、
探
索
新
知
生：（可能会回答）
师：这是一个定积分的性质：（其中）．
师：试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论．
生：定积分的值可以是正值、负值或0．
生：（书本P60）(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，等于曲边梯形的面积；
（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负值，等于曲边梯形的面积的相反数．
师：根据你们的结论，我们可以进一步补充课本P51页的定积分的几何意义：
一般情况下（如下图），定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．
师：如果在区间上恒为正，则定积分，为面积值；但是，不能推出在区间上恒为正．
师：由上图我们还可以等出一个结论：
若在区间上不是恒为非负的，则函数与x轴以及直线所围的图形的面积为．例如上图中，
例题3：已知在上连续，若是奇函数，则 ．并证明你的结论。
附证明：（1）∵在上连续,是奇函数，
∴，
设，则有,
∴（C为常数）
令，则有，∴
∴
∴
∴原式得证
师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质．
教师利用函数图象引导学生归纳
给出一般结论
着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：令位于x轴上方的曲边梯形的面积取正值，位于x轴下方的曲边梯形的面积取负值，这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数和
显示出数形结合的威力
复合函数的求导法则的逆运用
容易误为
再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数F(x)
三：实
践
新
知
练习：若是偶函数，则．
证明：∵在上连续,是偶函数，
∴，
设，则有,
∴（C为常数）
令，则有，∴
∴
∴原式得证
巩固
新知
练习：
1．P62习题1. 6 B组第1题（1）（3）
2．P62习题1. 6 B组第2题（1）（3）
总结归纳
定积分的几何意义：
一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．
布置作业
1．P62习题1. 6 B组第1题（2）（4）
2．P62习题1. 6 B组第2题（2）（4）
3．P62习题1. 6 B组第3题
设计反思
对于例题3，在证明某些关键的地方要提示，也可以采用老师讲授的方法，再进行模仿练习。如果实在困难，略去严格的数学证明也未尝不可。
（基础题）
1.的值是（ ）
(A)0 (B) (C)2 (D)4
答案：C
解释：
2.曲线与坐标轴所围成的面积是（ ）
(A)2 (B)3 (C) (D)4
答案：B
解释：
3.与x轴所围成图形的面积为
答案：4
解释：
4.设，求。
解释：
（难题）
5.求
解释：由图形可知
∴
6.设为上以为周期的连续函数，证明对任何实数，有
证明：∵为上以为周期的连续函数
∴
设，则有
∴（C为常数）
∴
令，则
令，则
∴
∴
∴原式等证。