高二下册数学3.2 函数的极值与导数

1．3．2函数的极值与导数（1课时）
【学情分析】：
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】：
（1）理解极大值、极小值的概念.
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
【教学重点】：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
【教学难点】：
极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
创设情景
观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．
对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
利用教材在3.3.1中的例1引入函数的极值概念
①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：
f(1)在x=1点及其附近是最小——；
y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——；
y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——；
提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？
不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值
②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：
学生模仿完成
考虑到极值与最值容易混淆，学生对已有知识的同化易接受，我们以3.3.1中的例1引出极值的概念，具体直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。
概念抽象
y=f(x)在定义域上可导，
①若，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足；在x=a附近的右侧满足，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
②若，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足；在x=b附近的右侧满足，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值
由具体函数图像抽象上升到一般极值概念
函数极值概念强化练习
概念判断练习：
（１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值
（２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的
（３）函数某区间上的极大值一定大于极小值
（４）函数的极值点，导数一定为零
（５）导数为零的点一定是函数的极值点
答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错
深化学生对函数极值的概念，以及函数取极值与的逻辑关系
极值概念理解的总结提高
（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>，如下图
如何判别f(x0)是极大、极小值
填空：
（1）若满足，且在的两侧的导数________，则是的极值点，是极值，
（2）如果在两侧满足“左正右负”，则是的_______点，是_______；
（3）如果在两侧满足“左负右正”，则是的_______点，是_______.
让学生总结判断极值的方法。
（１）异号；（２）极大值；极大值；
（３）极小值；极小值
例题精讲
１、看图识极值（点）
说出极值点与相应的极值
２、求函数的极值（点）
例1．（课本例4）求的极值
解： 因为，所以。
令，得
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.
当x变化时， ，的变化情况如下表：
—2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，=；
=。
函数的图像如图所示。
对教材例1的处理方式：
要求阅读教材解析，模仿练习。以眼动、心动、手动的方式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。
例2、求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
－
0
－
0
+
0
+
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
例3、 设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有⇒，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表：
-1
(-1,1)
1
+
0
－
0
+
↗
极大值1
↘
极小值
－1
↗
由上表可知， ，
加强对极值（点）的函数图像理解与认识
通过例题与练习加深对极大、极小值概念的理解，以及熟悉求函数极值的方法与步骤
拓展练习、若函数，当时，函数有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
解：
（1）由题意：
解得
所求解析式为
（2）由（1）可得：
令，得或
当变化时，、的变化情况如下表：
—
单调递增↗
单调递减↘
单调递增↗
因此，当时，有极大值
当时，有极小值 y=k
函数的图象大致如图：
由图可知：
方法小结
求函数极值的方法与步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
课后练习
1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）
A 充分条件 B 必要条件
C 充要条件 D 必要非充分条件
答案 D 对于不能推出在取极值，反之成立
2、函数有（ ）
A 极大值，极小值
B 极大值，极小值
C 极大值，无极小值
D 极小值，无极大值
答案C ，当时，；当时，
当时，；取不到，无极小值
3、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，
则函数在开区间内有极小值点（ ）
A 个 B 个 C 个 D 个
答案A 极小值点应有先减后增的特点，即
4、函数，已知在时取得极值，则a=( )
A, 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：
5、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
答案 ，时取极小值
6、函数在处取得极值，则m=__________
答案 0
7、已知函数，当时，有极大值；
（1）求的值；（2）求函数的极小值
解：（1）当时，，
即
（2），令，得