高二下册数学1.5定积分的概念第3课时

1.5.3定积分的概念
【学情分析】：
前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。
【教学目标】：
（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质
（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。
（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.
【教学重点】：
理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质
【教学难点】：
对定积分概念形成过程的理解
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复
习
引
入：
曲边梯形的面积 ：
变速运动的路程：
归纳解决曲边梯形面积和变速直线运动的共同特征：第一，都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题；第二，最终结果都归结为求同 一种类型的和式的极限。
结合已学的相关知识基础学习新概念。
二、新
课
讲
解
1.定积分概念
如果函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式
当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即
2.定积分概念的理解
（1）关于区间分法。对区间的分割应该是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了。
（2）关于的取法。在定积分的定义中，规定是第小区间上任意取定的点，这主要是考虑到定义的一般性，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把都取为每个小区间的左端点或右端点，以便于得出结果。
（3）定积分中符号的含义：叫做积分号，分别叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式。
定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有。
（4）定积分的含义（与不定积分的区别）：是一个和式的极限——是一个确定的常数；是的全体原函数——是函数。
详细剖析新概念，让学生透彻理解。
3．定积分的几何意义。
（1）学生在回顾前面两个实例的基础上做出回答：
1.5.1中曲边梯形面积：
1.5.2中汽车在这段时间经过的路程：
（2）探究（课本52页）：如何用定积分表示位于轴上方的两条曲线与直线围成的平面图形的面积。
结合图形，回忆前两节的两个实例讲解，学生容易接受。
例1 利用定积分的定义，计算的值。
（使学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四部曲”，注意引导学生选取为特殊点以便于计算。）
4.定积分的基本性质：
由于没有学习极限相关知识，教学中，不要求学生证明这些基本性质，可帮助学生从几何直观上感知。
例2：计算定积分
分析：利用定积分的性质（1）、（2），可将定积分转化为，利用定积分的定义分别求出，，就能得到定积分的值。
此例可以说明定积分性质的应用。
三、练
习
①计算的值，并从几何上解释这个值表示什么。
②利用定积分的定义，证明，其中均为常数且。
③试用定积分的几何意义说明的大小。
进一步熟悉定积分的概念。
进一步熟悉定积分的几何意义。
四、课
堂
小
结
定积分的定义，计算定积分的“四步曲”，定积分的几何意义，定积分的性质。
归纳，小结本节的知识。
练习与测试：
（基础题）
1.函数在上的定积分是积分和的极限，即_________________ .
答案：
2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 .
答案：被积函数,积分区间,积分变量；
3.定积分的几何意义是_______________________ .
答案：介于曲线,轴 ,直线之间各部分面积的代数和；
4.据定积分的几何意义，则
答案： ，
（提高题）
5.将和式极限表示成定积分
(1).
解：
(2). ，其中
解：
6. 利用定义计算定积分
解：在中插入分点,典型小区间为，（）
小区间的长度,取，（）
取即，