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  • 高一上册数学人教A版选修1-1教案:2.3.1抛物线及其标准方程(含答案)

    2021-03-02 高一上册数学人教版

    2.3.1 抛物线及其标准方程
    【学情分析】:
    学生已经学习过椭圆和双曲线,掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征,建立适当的直角坐标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程。
    【教学目标】:
    (1)知识与技能:
    掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念;能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法。
    (2)过程与方法:
    在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力。
    (3)情感、态度与价值观:
    培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
    【教学重点】:
    抛物线的定义和抛物线的标准方程。
    【教学难点】:
    (1)抛物线标准方程的推导;
    (2)利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
    【课前准备】:
    Powerpoint或投影片
    【教学过程设计】:
    教学环节
    教学活动
    设计意图
    一、复习引入抛物线的定义
    1. 椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数()的点的轨迹.
    2.双曲线的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹.
    3.思考:与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹,当0<e<1时是 椭圆 ,当e>1 时是双曲线.那么,当e=1时它是什么曲线呢?
    抛物线的定义:平面内与一个 定点 和一条 定直线l 的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .
    学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法,让学生了解抛物线的形成,从而理解并掌握抛物线的定义。
    二、建立抛物线的标准方程
    如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.
    设,则焦点F的坐标为(,0),准线的方程为.
    设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d.
    由抛物线的定义,抛物线就是点的集合

    ∵;d=.
    ∴.
    化简得:.
    注:叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的 正半轴,坐标是,准线方程是.
    探究:
    抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表。
    根据抛物线的定义,让学生逐步填空,推出抛物线的标准方程。
    通过填空,让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
    三、例题讲解
    例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程
    (1)过点(-3,2);  (2)焦点在直线x-2y-4=0。
    分析:根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可,注意标准方程的形式。
    解:(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得或。    
      ∴所求的抛物线方程为
        (2)令x=0,由方程x-2y-4=0的y=-2. 
    ∴抛物线的焦点为F(0,-2).
    设抛物线方程为x2=2py。则由得,
    ∴所求的抛物线方程为x2=-8y
    或令y=0由x-2y-4=0得x=4,
    ∴抛物线焦点为F(4,0) .
    设抛物线方程为y2=2px。则由得,
    ∴所求的抛物线方程为y2=16x
        注意:本题是用待定系数法来解的,要注意解题方法与技巧。
    例2 已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线方程。  (1)y2=6x;   (2)y=ax2.
    分析:先写成标准方程,再求焦点坐标和准线方程。
    解:(1)由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是
    (2)将抛物线方程化为标准方程,则焦点坐标为,准线方程为
      
    例3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值。
    分析:解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5,列出关于m、p的方程组,解关于m、p的方程组;其二利用抛物线的定义,得点M到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p的值。
    为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。
    解:(方法一)设抛物线方程为y2=-2px (p>0),则焦点,由题设可得,解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为
    (方法二)由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为5,∵M的坐标为(-3,m),∴,∴p=4,故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为
    四、巩固练习
    1.选择:
    ⑴若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦点
    的距离是10, 则焦点到准线的距离是 (B )
    A、4 B、8 C、16 D、32
    ⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 (B)
    A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
    ⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时,M点的坐标是 ( C )
    A. B. C. D.
    2.填空:
    ⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是;
    ⑵ 抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>),则点M到准线的距离是_a_,点M的横坐标是.
    四、巩固练习
    3. (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
    (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.
    线的标准方程是x2=-8y.
    4.已知点M与点F(4,0)的距离比它到直线L:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。
    分析:根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以F为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线。
      又由焦点位置可得,所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。
               
      解:如图8-20所示,设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F(4,0)的距离比它到直线L:x+5=0的距离小1”,就是“点M与点F(4,0)的距离等于它到直线L:x+4=0的距离”,根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以F为焦点M,直线x+4=0为准线的抛物线,且
      ∴所求的抛物线方程为y2=16x.
    围绕抛物线标准方程练习,让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。
    五、课后练习
    1. (浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=( B )
    (A) (B) (C) (D)1
    2. (上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( B )
    (A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条
    (C) 有无穷多条 (D)不存在
    3. 抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为(D )
    (A) 2 (B) 3 (C) 4  (D) 5
    4 .(江苏卷)抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( B)
    (A) (B) (C) (D) 0
    5.求经过点A(2,-3)的抛物线的标准方程:
    分析:抛物线的标准方程中只有一个参数p,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求出p值就可以写出其方程,但要注意两解的情况
    解:经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:
    y2=2px或x2=-2py.(如图)
    点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=
    点A(2,-3)坐标代入x2=-2py,即4=6p,得2p=
    ∴所求抛物线的标准方程是
    y2=x或x2=-y
    6.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
    分析:画出示意图2-14可知原条件M点到F(4,0)和到x=-4距离相等,由抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线.所求方程是y2=16x.
    根据学生情况分层布置作业。
    练习与测试:(说明:题目6个(以上)——其中基础题4个,难题2个;每个题目应该附有详细解答)
    1.选择题
    (1)已知抛物线方程为y=ax2(a>0),则其准线方程为( D )
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (2)抛物线(m≠0)的焦点坐标是( B )
    (A) (0,)或(0,)
    (B) (0,)
    (C) (0,)或(0,)
    (D) (0,)
    (3)焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线标准方程是( C )
    (A) y2=16x或x2=16y
    (B) y2=16x或x2=12y
    (C) x2=-12y或y2=16x
    (D) x2=16y或y2=-12x
    2.根据下列条件写出抛物线的标准方程
    (1)过点(-3,4)
    (2)过焦点且与x轴垂直的弦长是16
    解:(1)或
    (2)y2=±16x
    3.点M到点(0,8)的距离比它到直线y=-7的距离大1,求M点的轨迹方程.
    解:x2=32y
    4.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程。
      分析:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求。
      解:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,
    则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,
    则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y。
      变题:(1)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)外切,求动圆圆心M的轨迹方程。
      (2)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)相切,求动圆圆心M的轨迹方程。
      解:(1)当x<0时,y=0;当x≥0时,y2=4ax。
      (2)本题可分外切时,当x<0时,y=0;当x≥0时,y2=4ax。内切时当x≥0时,y=0(x≠a);当x<0时,y2=4ax。
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