高一上册数学人教A版数学必修一教案1.3.2函数的奇偶性

1．3．2函数的奇偶性
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
二．教学重点和难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学用具
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学用具：三角板 投影仪
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．



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通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
（2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论：
若；
若．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
②
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．
（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P35思考题：
规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P36 练习1．2 P39 B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
①
②
③
④
（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P44习题A组1．3．9．10题
2．设＞0时，
试问：当＜0时，的表达式是什么？
解：当＜0时，－＞0，所以，又因为是奇函数，所以
．
A组
一、选择题：
1．已知函数，则它是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
2．已知函数为偶函数，则f（x）在区间（-5，-2）上是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．部分为增函数，部分为减函数 D．无法确定增减性
3．函数的大致图象是（　 ）
4．如果奇函数在区间上是增函数且最小值是5，那么在区间上
A、是增函数且最小值是—5 B、是增函数且最大值是—5
C、是减函数且最小值是—5 D、是减函数且最大值是—5
5．已知在[—3，—2]上是减函数，下面结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递减
B．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递减
C．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递增
D．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递增
6．为奇函数，在上，则它在上表达式 （ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题:
7．函数是奇函数，函数是偶函数，则b=______，c=_______。
8．定义在R上的函数f（x）、g（x）都是奇函数，函数F（x）= a f（x）+bg（x）+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F（x）在（-∞，0）上的最小值是________。
9．函数f（x）=|x—a|—|x—a|（a∈R）的奇偶性是_____________。
10．偶函数f（x）是定义在R上的函数，且在（0，+∞）上单调递减，则和 的大小关系是___________。
11．f（x）是（—∞，+∞）上的奇函数，且在（—∞，+∞）上是减函数，那么满足 的实数a的取值范围是____________。
12．已知为奇函数，为偶函数，且，则＿＿．
三、解答题:
13．已知函数f（x）是定义在集合{x|x∈R且x≠0}上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是减函数，若ab＜0，a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≤0。
14．定义在（-2，2）上的偶函数f（x），满足f（1-a）＜f（a），又当x≥0时，f（x）是减函数，求a的取值范围。
15．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x>0时，f(x)<0，且f（1）=－2。
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）求f（x）在[－3，3]上的最大值和最小值。