2.2.2 对数函数及其性质（第一、二课时）
一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.
2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教学用具
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；
2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．
三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
1．设置情境
在2．2．1的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应．同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数．
2．探索新知
一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．
（2）．为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．
②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以．
例题1：求下列函数的定义域
（1） （2） （＞0且≠1）
分析：由对数函数的定义知：＞0；＞0，解出不等式就可求出定义域．
解：（1）因为＞0，即≠0，所以函数的定义域为.
（2）因为＞0，即＜4，所以函数的定义域为＜.
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出
1
2
4
6
8
12
16
－1
0
1
2
2.58
3
3.58
4
y
０ x
注意到：，若点的图象上，则点的图象上. 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图象与的图象关于轴对称 . 所以，由此我们可以画出的图象 .
先由学生自己画出的图象，再由电脑软件画出与的图象.
探究：选取底数＞0，且≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
.作法：用多媒体再画出，，和
提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？
先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)
图象的特征
函数的性质
（1）图象都在轴的右边
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点
（2）1的对数是0
（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 .
（3）当＞1时，是增函数，当
0＜＜1时，是减函数.
（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .
（4）当＞1时
＞1，则＞0
0＜＜1，＜0
当0＜＜1时
＞1，则＜0
0＜＜1，＜0
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：
＞1
0＜＜1
图
象
性
质
（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）过点（1，0），即当=1，=0；
（4）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）是上减函数
例题训练：
1. 比较下列各组数中的两个值大小
（1）
（2）
（3） （＞0，且≠1）
分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：
（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：
所以，
解法2：由函数+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以.
解法3：直接用计算器计算得：，
（2）第（2）小题类似
（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当＞1时，在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.
所以，
当1时，在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.
所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，
令 令 则
当＞1时，在R上是增函数，且5.1＜5.9
所以，＜，即＜
当0＜＜1时，在R上是减函数，且5.1＞5.9
所以，＜，即＞
说明：先画图象，由数形结合方法解答
课堂练习：Ｐ73 练习 第２，３题
补充练习
1．已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为
2．求函数的值域.
3．已知＜＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1
4．已知0＜＜1, b＞1, ab＞1. 比较
归纳小结：
2对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质，列表展现.