1.1.2 余弦定理
从容说课
课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.
启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;
2.余弦定理在解三角形时的应用思路;
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．
教具准备 投影仪、幻灯片两张
第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)
如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2
问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?
第二张:余弦定理(记作1.1.2B)
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
形式一: a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,
形式二:cosA=,cosB=,cosC=.
三维目标
一、知识与技能
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;
3.能利用计算器进行运算.
二、过程与方法
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．
教学过程
导入新课
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.
在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.
师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得
A2=CD2+BD2.
∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,
又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,
∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.
又∵在Rt△ADC中,AD=B·COsA,
∴a2=b2+c2-2abcosA.
类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.
c2=a2+b2-2abcosC.
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B)
推进新课
1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:
形式一:
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
形式二:
,
,
.
师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.
[合作探究]
2.向量法证明余弦定理
(1)证明思路分析
师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?
生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角.
师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造这一数量积以使出现COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.
(2)向量法证明余弦定理过程:
如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.
由向量加法的三角形法则，可得,
∴即B2=C2+A2-2ACCOsB.
由向量减法的三角形法则，可得,
∴即a2=b2+c2-2bccosA.
由向量加法的三角形法则,可得,
∴即c2=a2+b2-2abcosC.
[方法引导]
(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.
(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A;与是首尾相接,则夹角为角B的补角180°-B;与是同终点,则夹角仍是角C.
[合作探究]
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
.
师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC中，C =90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)
通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角.
这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况.
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.
接下来,我们通过例题来进一步体会一下.
［例题剖析］
【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
解：根据余弦定理，
a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A≈41 cm.
由正弦定理得sinC=≈≈0.544 0,
因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C≈33°,
B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°.
【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.
解：由余弦定理的推论,得
cosA=≈0.554 3,A≈56°20′;
cosB=≈0.839 8,B≈32°53′;
C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.
[知识拓展]
补充例题：
【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1°)
分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.
解：∵,
∴A≈44°.
∵cosC=≈0.807 1,
∴C≈36°.
∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.
[教师精讲]
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.
(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.
【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).
分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.
解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′,
得c≈4.297.
∵cosA=≈0.776 7,
∴A≈39°2′.
∴B=180°-(A+C)=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′.
[教师精讲]
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.
【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△ABC.
分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=acsinB可以求出.
若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的.
下面给出两种解法.
解法一:由正弦定理得,
∴A1=81.8°,A2=98.2°,
∴C1=38.2°,C2=21.8°.
由,得c1=3,c2=5,
∴S△ABC=或S△ABC=.
解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,
∴72=c+82-2×8×ccos60°,
整理得c2-8c+15=0,
解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=或S△ABC= .
[教师精讲]
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.
课堂练习
1.在△ABC中:
(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A;
(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;
(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B;
(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.
解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A=7.
(2)由,得.∴B=90°.
(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b=7.
(4)由,得.∴A=45°.
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).
(1)a=31,b=42,c=27;
(2)a=9,b=10,c=15.
解：(1)由,得≈0.675 5,∴A≈48°.
由≈-0.044 2,∴B≈93°.
∴C=180°-(A+B)=180°-(48°+93°)≈39°.
(2)由得≈0.813 3,
∴A≈36°.
由≈0.763 0,
∴B≈40°.
∴C=180°-(A+B)=180°-(36°+40°)≈104°.
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．
布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题.
板书设计
余弦定理
1.余弦定理 2.证明方法: 3.余弦定理所能解决的两类问题:
(1)平面几何法; (1)已知三边求任意角;
(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形
4.学生练习