1.2.3复合函数的导数
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.
【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.
【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
(1)复习常见函数导数以及四则运算.
作业讲评及提问,回忆常见函数的导数公式和导数四则运算,会解释导数实际意义.
为课题引入作铺垫.
(2)教科书P16思考题
如何求函数的导数?
开门见山提出问题.
(3) 复合函数的定义.
(1) 复合函数的定义.
(2)比较复合函数与基本初等函数的异同?
直接给出定义,并与基本初等函数相区别和联系.
(4)例题选讲
例1试说明下列函数是怎样复合而成的？
(1)；
⑵；
⑶
⑷．
例2写出由下列函数复合而成的函数：
⑴，； ⑵，．
允许讨论,
允许提问,
允许争论,
允许修正,
允许置疑.
老师点评.
说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例3.求函数
的导数.
(1)能否用学过四则运算解决问题?
(2)新方法：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，
两个导数相乘，得
， 从而有
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.
(3)能否用方法(2)解决(2)教科书P16思考题: 如何求函数的导数?
(4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评.
两种方法作对照与比较,体会不同的解决方
法与策略.鼓励学生模仿并及时修正.
(6)自学教科书P17例4.
学生自学,教师巡堂并答疑.
在摸索中熟悉.
(7)例4:
求y=sin2(2x+)的导数.
分析: 设u=sin(2x+)时，求，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.
解略.
必要时老师应板书详细过程.
(8) 课堂练习：
1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).
(1)y=(5x－3)4
(2)y=(2+3x)5
(3)y=(2－x2)3
(4)y=(2x3+x)2
(1)20(5x－3)3
(2) 15(2+3x)4
(3) －6x(2－x2)2
(4) 24x5+16x3+2x
可板演，可小测。
核对答案、讲评并小结.
巩固提高.
(10)课堂小结
⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.
(11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3
练习与测试:
1．填空：
(1)；(2)
2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=tanx (4)y=
3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.
4.求y=的导数.
5.求y=的导数.
6.求函数y=(2x2－3)的导数.
参考答案:
1．(1)∵
(2)
2. (1)y′=()′
(2)y′=()′
(3)y′=(tanx)′=()′
(4)y′=()′
＝
3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.
4.y′=()′
5.y′=()′
5.y′=()′
6. 分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.
令y=uv，u=2x2－3，v=, 令v=，ω=1+x2
= (1+x2) x′
=
∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′
=(2x2－3) x′·+(2x2－3)·
=4x
即yx′=.