第二章 平面向量
本章教材分析
1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.
2.教学的最佳契机,全新的思维视角.
向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
3.本章充分体现出新教材特点.
以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.
4.本章教学约需12课时,具体分配如下,仅供参考.
标题
课时
2.1平面向量的实际背景及基本概念
1课时
2.2向量的线性运算
3课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2课时
2.4平面向量的数量积
2课时
2.5平面向量的应用举例
2课时
本章复习
2课时
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
整体设计
教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
三维目标
1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.
重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.
图1
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？
③数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.
教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.
讨论结果:
①略.
②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.
③略.
提出问题
①如何表示向量?
②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?
③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?
④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?
⑦数量与向量有什么区别?
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?
活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.
已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
图2
知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
用有向线段表示向量的方法是:
1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:.
这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.
2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用)
3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.
讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、.
注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
图3
③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.
图4
又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.
⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.
应用示例
例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)
图5
分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解:表示A地至B地的位移,且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)
表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)
点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.
变式训练
一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
图6
解:根据题意画出示意图,如图6所示.
||=100 m,||=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC为正三角形.
∴||=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.
∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.
图7
例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1)ABCD中,与是共线向量;
(2)单位向量都相等.
活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.
因为AB//CD,所以∥.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.
解:(1)正确;
(2)不正确.
点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.
图8
例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量.
活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.
解:==;==;===.
点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.
变式训练
本例变式一:与向量长度相等的向量有多少个？(11个)
本例变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)
例4 下列命题正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.
答案:C
点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.
变式训练
1.判断:
(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)
(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)
2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆
答案:D
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个点 B.两个点
C.一个圆 D.一条线段
答案:B
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.
2.||,||,这两个向量的长度相等,但它们不等.
点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.
3.||=2,||=2.5,||=3,||=2.
点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.
4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.
点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.
课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.
作业
课本习题2.1 1、2.
设计感想
本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.
作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.