◆甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修1-1
◆
理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.
◆过程与方法目标
(1)预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究P41页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约10cm长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约60cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1椭圆及其标准方程.
(2)新课讲授过程
(i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义.
〖板书〗把平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为时,椭圆即为点集.
(ii)椭圆标准方程的推导过程
提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.
无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理.
设参量的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、的关系有明显的几何意义.
类比:写出焦点在轴上,中心在原点的椭圆的标准方程.
(iii)例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是,,并且经过点,求它的标准方程.
分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出.引导学生用其他方法来解.
另解:设椭圆的标准方程为,因点在椭圆上,
则.
例2 如图,在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么?
分析:点在圆上运动,由点移动引起点的运动,则称点是点的伴随点,因点为线段的中点,则点的坐标可由点来表示,从而能求点的轨迹方程.
引申:设定点,是椭圆上动点,求线段中点的轨迹方程.
解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设,;②(点与伴随点的关系)∵为线段的中点,∴;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹),∵,∴点的轨迹方程为;④伴随轨迹表示的范围.
例3如图,设,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程.
分析:若设点,则直线,的斜率就可以用含的式子表示,由于直线,的斜率之积是,因此,可以求出之间的关系式,即得到点的轨迹方程.
解法剖析:设点,则,;
代入点的集合有,化简即可得点的轨迹方程.
引申:如图,设△的两个顶点,,顶点在移动,且,且,试求动点的轨迹方程.
引申目的有两点:①让学生明白题目涉及问题的一般情形;②当值在变化时,线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴.
◆情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名;必须让学生认同与体会:椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量的意义,培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:例1使用定义解题是首选的,但也可以用其他方法来解,培养学生从定义的角度思考问题的好习惯;例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹,培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质.
◆能力目标
(1)想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示.
(2)思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力.
(3)实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力.
(4)数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.
(5)创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径.